Методы решения линейных некорректных задач с априорной информацией и оценка погрешностей

• Автор: Чжан Е
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 122 с. : ил.

Содержание
Введение
1 Метод решения линейных некорректно поставленных обратных задач математической физики на множестве ограниченных кусочно-выпуклых функций

1.1 Теория регуляризации на множестве ограниченных кусочновыпуклых функций

1.2 Постановка физической задачи

1.3 Общая схема поиска приближенного решения и методы оценки погрешности

1.4 Конечномерная аппроксимация

1.5 Метод точек перегиба

1.5.1 Случай одной точки перегиба

1.5.2 Случай нескольких точек перегиба

1.5.3 Теорема о сложности метода точек перегиба
1.5.4 Метод локального полного перебора
1.6 Численный эксперимент
1.6.1 Модельная задача 1 (недоопределённая система)
1.6.2 Реальная задача
1.6.3 Модельная задача 2 (переопределённая система)
2 Применение принципа Лагранжа к линейным некорректно поставленным обратным задачам
2.1 Постановка задачи и метод решения
2.2 Выпуклость и уравновешенность множества априорной информации
2.3 Новая постановка задачи и ее конечномерная аппроксимация
2.4 Принцип выбора нормального множителя Лагранжа

2.4.1 Первый подход
2.4.2 Второй подход
2.4.3 Третий подход
2.4.4 Четвертый подход
2.5 Методы выбора параметра регуляризации а
2.5.1 Априорный выбор параметра регуляризации
2.5.2 Апостериорный выбор параметра регуляризации
2.6 Регуляризирующее и оптимальное свойства алгоритма
2.7 Общий алгоритм решения операторного уравнения
2.8 Численный эксперимент
2.8.1 Пример
2.8.2 Пример
Заключение
Список литературы
Введение

Диссертационная работа посвящена некоторым новым методам решения некорректно поставленных обратных задач математической физики с использованием априорной информации о решении и оценке погрешности приближённого решения, которое может быть получено с помощью этих методов.
В работе строится регуляризирующий алгоритм решения линейных некорректно поставленных обратных задач на множестве ограниченных кусочно-выпуклых функций — метод точек перегиба (МТП), и строится оценка погрешности приближённого решения. С помощью этого метода решаются задачи математической физики, численное решение которых сводится к необходимости решать недоопределённые и переопределённые системы линейных алгебраических уравнений.
В работе также исследуется теория оптимальной регуляризации на ограниченных выпуклых и уравновешенных множествах. Строится так называемый поточечный псевдооптимальный (оптимальный в некотором смысле) регуляризирующий алгоритм решения линейных некорректно поставленных обратных задач и получается псевдооптимальная (поточечная и общая) апостериорная оценка погрешности решения. С помощью этого алгоритма решается одномерное (а также двумерное) линейное операторное уравнение в общем виде с некоторой априорной информацией о решении.
Актуальность темы Многие современные задачи математической физики являются обратными задачами, которые могут быть представлены в виде операторного уравнения
Аг — и, г Е Я, и е II, (0.1)

Замечание 5 Для множества (1.9) оценки погрешности правой части и оператора можно вычислять по формулам: 52 := Е^=1 и Ь? := Еш,п^п^Г^г Кроме этого, нетрудно доказать, что когда мы решаем экстремальную задачу тіп^^ Ф[/], мы можем не учитывать ограничение \Ahf—Т5Ц7- ^ д, которое не оказывает влияние на наш результат. Таким образом тіпує^> Ф[/] = тіп^^ Ф[/].
На самом деле, для некоторых специальных компактных множеств (например, для нашей конкретной задачи) после получения конечномерного решения / (т.е. набора чисел) вместо кусочно-линейной функции /дг(г) мы можем построить более эффективный метод для нахождения бесконечномерного приближенного решения из пространства С (К) [17]. Теперь обсудим этот метод. Прежде всего предположим, что существу-
ют непрерывные функции рі,(г),р"(г), /дгМ = Е£=1 <Р1п(г)1п и /#(г) = Е^=1 <Рп(г)/п такие, что У/(г) Є Т : Д(г) ^ /(г) ^ /#(г) при всех г Є Ті.
Здесь, /„ := /(г„) есть значение неизвестной точной функции /(г) в точке сетки гп. Они также не известны.
В силу положительности медленно меняющейся функции /(г) для функции распределения размеров частиц аэрозоля и свойств операторов А и А/г, описанных в теореме 1.3 у нас получаются следующие неравенства:
{Ан - Н)/1„ ^ А/1М <:а/ = т<:т6 + <5,
т5 — 6 ^.т = А/ ^ АГИ <: (Ан + Н)ГЫ
(1.12)
(1.13)
где оператор Н определяется по формуле
нї = 1пЧХ’г)/(г)дг
Используя разложения функции /^(г) и ПИ по формулам /1м(г) = Т.п=іЧ>1п(г)їп и /#(г) = Е^=1 <(г)/„, и интегрируя (1.12) и (1.13), полу-