Некоторые экстремальные свойства специальных функций математической физики и их приложения

• Автор: Абилов, Владимир Абилович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Махачкала
• Количество страниц: 220 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
Введение

ГЛАВА I. Сходимость в среднем кратных рядов Фурье по

специальным функциям математической физики. . .

§ 1. Обозначения

§ 2. Основные результаты

§ 3. Сходимость в пространстве ехр(—|д|2)).

§4. Сходимость в пространстве 1/2(К+ ; хае~х)

§ 5. Сходимость в пространстве

(V •• I л : J J і -4Г j

§6. Сходимость в пространстве Г2 ([0,1]м; ж2р+г).
ГЛАВА Н.Равномерная сходимость двойных рядов Фурье
по классическим ортогональным многочленам
§1. Ряды Фурье-Эрмита
§ 2. Ряды Фурье-Лагерра
§ 3. Ряды Фурье-Якоби
Глава III. Поперечники Колмогорова
§ 1. Основные результаты
§2. Поперечники в пространстве 1/2(Кдг;ехр( —|х|2)). . .
§3. Поперечники в пространстве І2(К+;ж"е_І)
§ 4. Поперечники в пространстве

§ 5. Поперечники в пространстве L2 ([0,1]^; т2р+1). • •
§6. Поперечники в пространстве L? (р(т); (а, Ъ))
Литература

ВВЕДЕНИЕ
Хорошо известно, что решение многих задач теоретической и математической физики приводит нас к использованию различных специальных функций, наиболее употребительными из которых являются так называемые специальные функции математической физики - классические ортогональные многочлены (многочлены Лагерра, Эрмита, Якоби), цилиндрические, сферические и ги-пергеометрические функции, которые обычно возникают при решении уравнений математической физики методом разделения переменных. Последний является одним из распространенных методов решения уравнений математической физики.
Например, метод разделения переменных широко применяется для решения, возникающих в математической физике, дифференциальных уравнений в частных производных вида
р(х,У,г)
., % д2и . ди
А^9Р+тт
— Ьи,

Ьи = сЦу[р(т, у, г^гаскг] — у{х, у, г)и:
Если Л(4) = 1, В(4) = 0, то уравнение (1) описывает процессы распространения колебаний, например, распространение электромагнитных и звуковых волн, при Л (4) = 0, 15(4) = 1 уравнение (1) описывает различные процессы переноса распространения тепла или диффузии частиц в среде, при А (4) = 0, В(4) = 0 уравнение (1) описывает соотвествующие стационарные процессы.
Для уравнений математической физики решение, вообще говоря, зависит от произвольных функций. Например, общее решение д2и
уравнения = 0 имеет вид и = ф(х) + ф(у), где й -ф — произ-

вольные дифференцируемые функции. Поэтому для однозначного

выделения решения уравнения в частных производных, описывающего реальный физический процесс, необходимо задавать дополнительные условия. Наиболее употребительными из таких условий являются начальные и граничные условия вида
«ф=о = /(ж, у, г),

а(х,у,г)и + р(х,у,г)

Здесь а(х,у,г), (3(х,у,г) — некоторые функции, 5 — поверхность, ограничивающая область, в которой решается уравнение (1), ди

- производная по направлению внешней нормали к поверхности
в ■ Задача, связанная с нахождением решения уравнения (1), удовлетворяющего заданным начальным и граничным условиям, называется краевой задачей.
Напомним вкратце схему решения краевой задачи методом разделения переменных. Будем искать решение уравнения (1) в виде
и(х,у,г,£) = Т(1)и{х,у,г).
В результате приходим к следующим уравнениям
А{г)т" + в(г)т' + ат = о, (4)
Ьи + Аг> = 0, (5)
где А — некоторая постоянная. Уравнение (4) является обыкновенным дифференциальным уравнением и для характерных задач математической физики легко решается аналитически. Для решения уравнения (б) следует использовать граничное условие
а(х,Уіф + Р(х,у,г)

вытекающего из граничного условия (3).

Лемма 2. Пусть f е Ь2. Если
1=0 3=
ыш = ЕЕсу(/)(1 - к2)тлЩхщо,)>
г=0 з =О
причем сходимость рядов справа, понимается в смысле пространства Ь2.
Доказательство. Рассмотрим
+оо +оо -(-00+
+ (Л)- I I е-*2-У2 1 I I е-“2-“2х
— оо — оо
х/ЯаА - Л2 + Ли,ул/1 - /г2 + ко)<Ы<1и-
+оо +оо
~ УУ^М) [ [ е~и У Щ(ху/- К2 + /ш)>
г=0 ;=0 ^ ^
хя, (/1 — /г2 + /гг>)<йгс£и| <1х<1у Покажем, что 1П(Н) —> 0 при гг —> оо. В интеграле
“ТОО -(-ОО
= — У / е~и 3(ху/1 — Л2 + Ли, у/1 — К2 + Ли) —
■ ЕУЕ+ЯД+а/! - Л2 + Ли)Я,- (/1 - Л2 + Ли)
г=0 ^=
с1ийо
Замена переменных
£ — а:/1 ■ Л2 г Ли, г] = у у/1 — Л2 + Ли