Линейная и нелинейная теория ρ-адических обобщенных функций

• Автор: Шелкович, Владимир Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 293 с.

Оглавление

Глава 1. Введение

1.1. р-Адический анализ и р-адическая математическая физика

1.2. Содержание диссертации и ее основные результаты

1.3. Библиографический обзор

Глава 2. Вспомогательные факты из р-адического анализа

2.1. Введение

2.2. р-Адическая норма и р-адические числа.

2.3. р-Адические функции

2.4. р-Адическое интегрирование

2.5. р-Адические распределения

Глава 3. Теория присоединенных и квази-присоединенных однородных
распределений (вещественный и р-адический случаи)
3.1. Введение
3.2. Анализ определения присоединенного однородного распределения.
3.3. Симметрия класса распределений ./Шо(®)
3.4. Вещественные квази-присоединенные однородные распределения
3.5. Вещественные многомерные квази-присоединенные однородные
распределения
3.6. Преобразование Фурье вещественных квази-присоединенных однородных
распределений
3.7. Новый тип вещественных Г-функций
3.8. р-Адические однородные распределения
3.9. р-Адические квази-присоединенные однородные распределения
3.10. Преобразование Фурье р-адических квази-присоединенных однородных
распределений
3.11. Новый тип р-адических Г-функций
Глава 4. р-Адические пространства Лизоркина основных функций и
распределений
4.1. Введение
4.2. Вещественный случай пространств Лизоркина
4.3. р-Адические пространства Лизоркина
4.4. Плотность пространств Лизоркина в £р(0>р)

Глава 5. Теория р-адических всплесков
5.1. Введение
5.2. р-Адический кратномасштабный анализ (одномерный случай)
5.3. Построение р-адического хааровского кратномасштабного анализа
5.4. Описание одномерных 2-адических хааровских базисов всплесков
5.5. Описание одномерных р-адических хааровских базисов всплесков
5.6. р-Адические масштабирующие функции и кратномасштабный анализ
5.7. р-Адический сепарабельный многомерный КМА
5.8. Многомерные р-адические базисы всплесков Хаара
5.9. Один нехааровский базис всплесков в £2(QP)
5.10. Одно бесконечное семейство нехааровских базисов всплесков в £2(QP)
5.11. Многомерные нехааровские р-адические всплески
5.12. р-Адическая теорема Шеннона-Котельникова
5.13. р-Адические пространства Лизоркина и всплески
Глава 6. р-Адические псевдодифференциальные операторы на пространствах
Лизоркина
6.1. Введение
6.2. р-Адические многомерные дробные операторы
6.3. Один класс р-адических псевдодифференциальных операторов
6.4. Спектральная теория псевдодифференциальных операторов
Глава 7. р-Адические псевдодифференциальные уравнения
7.1. Введение
7.2. Простейшие псевдодифференциальные уравнения
7.3. Линейные псевдодифференциальные эволюционные уравнения первого
порядка по t
7.4. Линейные псевдодифференциальные эволюционные уравнения второго
(и более высокого) порядка по t
7.5. Полулинейные псевдодифференциальные эволюционные уравнения
Глава 8. Асимптотики распределений и р-адические тауберовы теоремы
8.1. Введение
8.2. Асимптотические оценки р-адических распределений
8.3. Квази-асимптотики р-адических распределений
8.4. Тауберовы теоремы по отношению к асимптотикам
8.5. Тауберовы теоремы по отношению к квази-асимптотикам
Глава 9. Асимптотики р-адических сингулярных интегралов Фурье
9.1. Введение
9.2. Результаты об асимптотиках сингулярных интегралов Фурье в
вещественном случае
9.3. Асимптотические разложения р-адических распределений

9.4. Асимптотики сингулярных интегралов Фурье (лДх) = 1)
9.5. Асимптотики сингулярных интегралов Фурье (^(х) ф 1)
9.6. р-Адическая версия леммы Эрдейи
Глава 10. Нелинейные теории обобщенных функций (вещественный и
р-адический случаи)
10.1. Введение
10.2. Нелинейные теории распределений (вещественный случай)
10.3. Новые версии алгебр Коломбо (вещественный случай)
10.4. Сингулярные решения квазилинейных систем законов сохранения
(вещественный случай)
10.5. Произведения распределений в контексте решения задачи Коши для
квазилинейных систем законов сохранения (вещественный случай)
10.6. Построение р-адической алгебры Коломбо-Егорова
10.7. Свойства обобщенных функций Коломбо-Егорова
10.8. Дробные операторы в алгебрах Коломбо-Егорова
10.9. Ассоциативная алгебра р-адических асимптотических распределений
10.10. А* как подалгебра алгебры Коломбо-Егорова
Литература
Приложение А. Два тождества
Приложение В. Доказательство теоремы о слабых асимптотических
разложениях

Эта норма — неархимедова. Действительно, для любого х, у Є QJ)
х + ур = max х5 + Xjp < в max (|ж,|р, |%-|р)
= max ( max х5р, max |p,[p) = max (|ж|„, |p|p)
Qp - полное метрическое локально-компактное и вполне несвязное пространство. Скалярное произведение векторов х, у Є Qp определяется как

х.у = ^2 хм.

Мы имеем
|я • 2/ІР < МрМр. z,y€Qp
Обозначим через В(а) = {х : х — а|р < р7} шар радиуса р1 с центром в точке а = (аь ..ма„) Є Легко видеть, что
(2.2.9) В(а) = B1(ai) х • • • х S7(an),
где B7(a,j) = {Xj : xj — a,jp < p7} - круг радиуса p7 с центром в точке aj Є Qp, j = 1,2...,п.
Для многомерного случая теорема 2.2.1 также справедлива.
2.3. р-Адические функции
2.3.1. Характеры поля Qp. Аддитивный характер поля Qp (см., например, [227, 111.1.]) определяется как непрерывная комплекснозначная функция хр(х) на Qp, такая что
1х(ж)| = 1, х(х + У) = х(хМу), x,yeQp.
Стандартный аддитивный характер поля Qp имеет вид:
ХР(х) = ехр(2т{х}р),
где {х}р - дробная часть х Є Qp, заданная формулой (2.2.2). Общий вид аддитивного характера поля Qp:
(2.3.1) х(.т) = Хр(хО = ехр(2тгД^}р),
для некоторого £ 6 Qp.
Мультипликативный характер поля Qp определяется как непрерывная комплекснозначная функция 7г(х) на Q*, такая что
тг(ху) = тг(х)тг(у), X, у Є Q*.