Алгебра псевдодифференциальных краевых задач на многообразии с гладкими ребрами

• Автор: Сарафанов, Олег Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 169 с.

Глава 1. Краевые задачи в полупространстве с "ребром"

1.1 ПДО в Ж^+

1.2 Свойство трансмиссии

1.3 ПДО со свойством трансмиссии

1.4 Классы амплитуд

1.5 Определение краевой задачи

1.6 Классы символов

1.7 Символы собственных операторов

1.8 Операторы порядка —оо

1.9 Связь между операторами

Глава 2. Исчисление псевдодифференциальных краевых задач

2.1 Формально сопряженная задача —
2.2 Дуальные символы
2.3 Композиция краевых задач
2.4 Допустимые диффеоморфизмы
2.5 Инвариантность свойства трансмиссии
2.6 Замена переменных в краевой задаче
2.7 Операторы на многообразии
2.8 Ограниченность операторов краевых задач
Глава 3. Представления С'-алгебры краевых задач
3.1 Краевые задачи на 5 - многообразиях —
3.2 Принциц локализации
3.3 С*-алгебра краевых задач
3.4 Локальные алгебры
3.5 Локализация в алгебре С(в)
3.6 Специальное представление операторов из алгебры £(0)
3.7 Локализация в алгебре 6
3.8 Представления алгебры Л
Глава 4. Асимптотика решений псевдодифференциальных уравнений и краевых задач на многообразии с коническими точками
4.1 Мероморфные операторные функции и жордановы цепочки
4.2 Пространства и операторы в бесконечном конусе
4.3 Мероморфные псевдодифференциальные операторы

4.4 Степенные решения
4.5 Формулы для коэффициентов
4.6 Доказательство теоремы 4.7
4.7 Псевдодифференциальные операторы на многообразии с коническими точками
4.8 Асимптотика решений
4.9 Свойства ядра и коядра оператора Л
4.10 Замечания об относительном индексе
4.11 Формулы для коэффициентов
4.12 Асимптотика решений краевой задачи
Литература

Краевые задачи для псевдодифференциальных уравнений на гладких многообразиях с краем рассматривались М.И. Вишиком, Г.И. Эе-киным, Л. Буте де Монвелем и др. ([1], [2], см. также [3] — [5] ) в связи с различными вопросами теории дифференциальных краевых задач, в основном, для вычисления индекса эллиптических операторов. Впоследствии теория псевдодифференциальных краевых задач нашла приложения в спектральной теории, в теории сингулярных возмущений, к эволюционным задачам, к задачам управления. Различные варианты теоремы об индексе применяются в топологии, дифференциальной геометрии, функциональном анализе, теоретической физике. Например, в квантовой механике требование целочисленности индекса некоторых эллиптических операторов доставляет необходимое условие осуществимости деформационного квантования; с помощью теоремы об индексе изучаются свойства множества решений уравнений квантовой теории поля; некоторые геометрические следствия теории индекса оказались полезными при исследовании гравитационных аномалий и т. д. В течение последних двух десятилетий усилия многих специалистов были направлены на то, чтобы обобщить достижения теории краевых задач на ситуацию, когда многообразие и (или) символы операторов имеют особенности.
Важным вопросом теории краевых задач является построение исчисления псевдодифференциальных краевых задач на многообразиях с негладкой границей. При этом непригодны способы определения краевых задач, используемые в гладкой ситуации. Разными авторами предлагались различные варианты построения теории псевдодифференциальных краевых задач на многообразии с особенностями на границе (упомянем здесь работы [6], [7], где рассматривались краевые задачи на многообразии с коническими точками для псевдодифференциальных операторов из [8]). Однако соответствующие классы операторов оказывались либо специфическими, либо не инвариантными относительно естественных диффеоморфизмов многообразия. В настоящее время в теории псевдодифференциальных операторов (ПДО) наблюдается существенный прогресс: определены классы ПДО на особых многообразиях, включающие естественные операторы и инвариантные относительно достаточно широкой группы диффеоморфизмов

Нам достаточно показать, что С к подчиняется оценкам (1.19). Для этого снова проинтегрируем в (1.29) по частям и получим, что при всех N1 е Z+
При N > д + т отсюда и из (1.30) вытекает оценка (1.19) для а = 0 и /3 = 0. Случай ненулевых а и (3 сводится к предыдущему (ср. с доказательством леммы 1.31).
'ф е С“(М+) равна 1 вблизи начала 1 = 0, а последовательность ср и функция у? — те же, что и в доказательстве леммы 1.2 . Тогда, очевидг+А — ор+а — требуемый ПДО. ■
Предложение 1.39.1) Пусть г+А = ор+сг Є Ор21о(К^+). Тогда оператор Т — <1{х')г'г+А есть собственный следовый оператор порядка у и типа (і ^ у, причем Т = ордг, <тт(х',£т) = П_<т(а/, О^т).
2) Для любого Т Є Т£’°(!^+) найдется такой ПДО г+А из пространства Ор21о(М^*+), что Т — й(х')г'г+А.
Доказательство. Так как іі(х')г' — оператор следа порядка 0 и типа 1, то утверждение 1) является частным случаем леммы 2
(1.30)
(ср. с (1.22 )), где
Ьн(х,у',£,і/) = (<і(х)/хп)мБУ (ика[2)(х,£',и))хк(х,у').
По лемме 1
{(і{х)/хп)мд^д^ст[2){х,І',и) ф с(0м 1/31.
2) Пусть К ~ ор к и к Є Яд(И^+ х К^-ч1). Положим
Ф, У, ") = Ых> У'^Му).
где I = іі — оператор продолжения Сили
г :5(К+) Зи(і).»1и(і) = {^2