Слабо-нелокальные структуры, метод Уизема и геометрия квазипериодических функций на плоскости

• Автор: Мальцев, Андрей Яковлевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Черноголовка
• Количество страниц: 297 с. : ил.

Часть I. Слабонелокальные структуры, интегрируемые иерархии и метод Уизема
Глава 1. Общие свойства слабо-нелокальных Гамильтоновых и Симплек-тических структур
Глава 2. Структуры гидродинамического типа
Глава 3. Согласованные скобки гидродинамического типа и интегрируемые иерархии
Глава 4. Метод Уизема и усреднение слабо-нелокальных гамильтоновых структур
Глава 5. Усреднение слабо-нелокальных симплектических структур.
Глава 6. Слабо-нелокальные 1-формы и усреднение слабо-нелокальных Лагранжианов
Часть II. Квазипериодические функции на плоскости и транспортные явления. '
Глава 7. Теория квазипериодических функций и "модулированный"двумерный электронный газ
Заключение
Список литературы

Данная работа включает в себя две основные части. Первая часть по-
# священа теории слабо-нелокальных (гамильтоновых и симплектических)
структур для уравнений в частных производных, а также методу медленных модуляций (или нелинейному методу ВКБ), введенному Уиземом. В этой части рассматриваются общие свойства слабо-нелокальных гамильтоновых и симплектических структур общего вида, а также особо - слабо-нелокальных структур гидродинамического типа. Кроме того, исследуется связь таких структур с теорией Уизема и, в частности, показывается, что слабо-нелокальные структуры общего вида переходят в структуры гидродинамического типа для уравнений медленных модуляций. В этой
« же части обсуждается связь слабо-нелокальных структур с теорией интегрируемых уравнений и рассматриваются бигамильтоновы системы гидродинамического типа.
Во второй части работы рассматриваются квазипериодические функ-
# ции на плоскости и задача Новикова об описании геометрии линий уровня таких функций. Мы здесь рассмотрим физические системы, где возникает данная проблема и опишем эффекты, связанные с топологическими явлениями, возникающими при ее рассмотрении. Основное изложение посвящено здесь квазипериодическим модуляциям двумерного электронного газа в присутствии внешнего магнитного поля и поведению проводимости в таких системах в пределе больших длин свободного пробега ([130]). В этой ситуации приводится описание асимптотических режимов магнито-проводимости в зависимости от топологии линий уровня потенциала и, в
частности, показывается, что в случае общего положения возможно введение топологических чисел, описывающих геометрию тензора проводимости. Отметим, что топологические числа, вводимые таким образом, аналогичны топологическим числам, возникающим при рассмотрении проводимости нормальных металлов со сложными Ферми-поверхностями в присутствии сильного магнитного поля и введенным ранее С.П. Новиковым и автором.
Дадим теперь более подробное описание рассматриваемых в частях I и II вопросов и сформулируем основные результаты, полученные в работе.
Мы дадим сначала определение слабо-нелокальной гамильтоновой и симплектической структуры. Именно, мы называем слабо-нелокальной теоретико-полевую гамильтонову структуру в пространстве вектор-функций одной переменной (р(х), определяемую выражением
{ч>х), <р*(у)} = 22 4>хч • • •) 5{к)(х - у)+
к> О

+ 22 «ь <%)(<,р, <рх, • • ■) »(х ~ у) 5£,)(р, Ч>У. • ■ ■) (0-1)

г = 1,... ,п, <р(х) = ((рг(х) уп(х)).
Мы полагаем здесь и(х — у) = 1/2здп(х — у) и - невырожденная симметрическая матрица. Функции Вг^((р, (рх,...), а также Зг^((р, <рх, ■ ■ •) зависят от конечного числа производных и обе суммы в выражении (0.1) также содержат конечное число слагаемых. Кроме того, мы полагаем также, что нелокальная часть (0.1) записана в "неприводимой"форме, так ЧТО вектор-функции Б(А;)((/?, ‘Рх, ■ • ■) = <рх, ■■ ■) - линейно независимы (с постоянными коэффициентами).
ним направлением открытых траекторий.
Наконец, для таких специальных направлений возможно также существование периодических открытых траекторий с разными средними направлениями в различных плоскостях, ортогональных В. В этом случае, возможно существование ненулевой проводимости во всех направлениях в пределе ЩвТ —> оо.
Мы хотели бы описать здесь, однако, также еще один полезный подход к рассматриваемой выше проблеме, основанный на рассмотрении всего дисперсионного соотношения е(р) ([91, 93, 95]). Рассмотрим дисперсионное соотношение е(р), такое что ет,п < е(р) < етах для данной зоны проводимости. Рассмотрим все энергетические уровни б(р) = с, где бТОт < с < етах и соответствующие им электронные траектории для фиксированного направления В.
Мы можем сформулировать те же самые теоремы для незамкнутых электронных траекторий на каждом энергетическом уровне е(р) = с в том же виде, как ранее формулировали их для энергии Ферми ер. Наиболее важным топологическим утверждением при таком рассмотрении является то, что угловые диаграммы для разных уровней "не конкурируют "друг с другом. Это означает, что если мы имеем открытые траектории определенного типа (т.е. "топологически регулярные", периодические, "хаотические") на каком то энергетическом уровне, то мы можем иметь открытые траектории только того же типа (и с теми же параметрами) либо только замкнутые траектории также и на всех других энергетических поверхностях для данного направления В. (На самом деле,