Метод стохастической асимптотики в квантовой динамике

• Автор: Печень, Александр Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 106 с.

Глава 1 Предел малой плотности с использованием ФокантиФок представления

§1 Частица, взаимодействующая с Бозе-газом

§2 Фок-антиФок представление

§3 Предел малой плотности: приближение вращающихся волн

3.1 Энергетическое представление для свободных полей

3.2 Алгебра мастер-поля в пределе малой плотности

3.3 Операторная реализация алгебры мастер-поля в пространстве Фока

3.4 Уравнение Шредингера с квантовым белым шумом

3.5 Квантовое стохастическое дифференциальное

уравнение для оператора эволюции

§4 Предел малой плотности: общий случай

4.1 Энергетическое представление
4.2 Алгебра мастер-поля в пределе малой плотности
4.3 Представление алгебры мастер-поля в пространстве
Фока
4.4 Уравнение Шредингера с квантовым белым шумом
4.5 Нормально упорядоченное уравнение Шредингера с
квантовым белым шумом и квантовое стохастическое дифференциальное уравнение
4.6 Т-оператор для процесса рассеяния одной частицы газа на пробной частице
§5 Квантовое уравнение Ланжевена
§6 Уравнения для редуцированной динамики пробной частицы:
мастер-уравнение и линейное уравнение Больцмана

Глава 2 Предел малой плотности в терминах корреляционных функций
§1 Квантовый белый шум, причинные состояния и мастер-поле
в пределе малой плотности
§2 Уравнение Шредингера с квантовым белым шумом
§3 Приведение уравнения Шредингера с квантовым белым шумом к нормальной форме
§4 Одночастичный Т оператор и 5 матрица
§5 Квантовое стохастическое уравнение для оператора эволюции
§6 Квантовое уравнение Ланжевена и мастер-уравнение
Глава 3 Квантовый мультипольный шум и поправки к
стохастическому пределу
§1 Квантовый мультипольный шум
1.1 Представление алгебры квантового мультипольного шума в пссвдогильбертовом пространстве
1.2 Связь операторов, описывающих резервуар, с квантовым мультипольным шумом
1.3 Квантовый дипольный шум на симплексе
§2 Уравнения для операторов, описывающих поправки к
стохастическому пределу
§3 Спин-бозонная модель
Заключение
Приложение
Литература

Одной из интенсивно развивающихся в последнее время областей математической физики является неравновесная квантовая теория. В частности, в связи с различными приложениями приобретает интерес изучение временной динамики квантовых открытых систем, то есть квантовых систем, взаимодействующих с резервуаром. В роли квантовых систем может выступать атом или пробная частица, в роли резервуара - электромагнитное излучение, квантовый газ, измерительная аппаратура.
Примерами квантовых открытых систем являются атом, взаимодействующий с излучением, или частица, взаимодействующая с квантовым газом. Изучение динамики таких систем имеет большое значение для вывода транспортных уравнений и нахождения входящих в них транспортных коэффициентов, исследования проблемы декогеренции и измерения в квантовой теории, стремления к равновесию, при изучении динамики атомов в лазерном поле, динамики частицы в квантовом газе.
Важной задачей в теории квантовых открытых систем является изучение редуцированной, то есть усредненной по состоянию резервуара, динамики системы. При этом обычно предполагается, что резервуар находится в равновесном состоянии. Редуцированная динамика описывается мастер-уравнениями для редуцированной матрицы плотности системы или для усредненной по состоянию резервуара временной эволюции наблюдаемых, относящихся к системе. Точные мастер-уравнения включают эффекты памяти и являются сложными для практического изучения. Однако в некоторых физически интересных режимах точные решения таких уравнений аппроксимируются решениями уравнений, которые значительно легче поддаются исследованию. Такими режимами являются режим слабой связи и режим малой плотности, когда либо взаимодействие между системой и резервуаром мало, либо мала плотность числа частиц резервуара.
Изучение динамики на больших временах в этих режимах проводилось

= ££ №п{Е ^1)^>ш1(|5'п) {РЕ1-ш19п)Ь1;,ш1-ш(РЕ29т) (£>Е1~ш19п') (1-79)
п=ОД шЩЛ
Лемма 5. Операторы (1-78) и (1.79) удовлетворяют коммутационным соотношениям (1.71)-(1.73).
Доказательство. Прямые вычисления.
Введем, для упрощения вычислений, проинтегрированные операторы
Вп,т(Е,и),1) := J йЕ'Вп^т{Е',Е,ш,€) (1.80)
Еп,т{<^Л) '■= J ^Е1дЕ2Еп>гп{Е, .&2> ^>0) (1-81)
Эти операторы удовлетворяют следующим причинным коммутационным
соотношениям:
[Вп,т{Е,ш,$,В+1т,{&,<*>•, К)] = 6+(К - 1)5п,п,дт,т16^6(Е - Е')
Х7п(Е + ш)(дт, РЕе~т19т) (1-82)
[Вп,т{Е,и;,1),ЕП'1т'(ш',1')] - <5+(*' - £)„,„<
х^п(Е + ш)Вт^т(Е, си - си', £') (1.83)
Имеем

АГ„,т(о;,г) = J дЕМщт{Е,шО)
Еп,т{.В ■> № Л) — £ £ рп(Е)В+п,(Е1си1,1)Вт,п'(Е,и>1 ~ и,€)
п'—0,1 {*д€Л
Предельный гамильтониан выражается в терминах операторов (1.80) и (1.81) как
Я(г) = * ® ^од(шД) + [ дЕ^В^Е, -и),£) +
- <8> ^1,о(а;Л) + J дЕ^В0Л(Е, -и, г) + В£0(#,и/,*)) |