Угловой погранслой в нелинейных сингулярно возмущенных дифференциальных уравнениях с частными производными

• Автор: Денисов, Игорь Васильевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Тула
• Количество страниц: 226 с.

Содержание
0.1 Введение
1 Эллиптическая задача
1.1 Постановка задачи
1.2 Расщепление уравнения. Регулярная часть
асимптотики
1.3 Погранслойная часть асимптотики
1.4 Угловая часть асимптотики. Основные проблемы
1.5 Решение задачи при условии существования
нулевого приближения
1.6 Оценка остаточного члена
1.7 Существование главного члена угловой части
асимптотики в монотонном случае
1.8 Функции класса {F, ф}
1.9 Существование главного члена угловой части
асимптотики в немонотонном случае
2 Параболическая задача
2.1 Постановка задачи
2.2 Расщепление уравнения: Регулярная часть асимптотики
2.3 Погранслойная часть асимптотики
2.4 Угловая часть асимптотики. Основные проблемы
2.5 Решение задачи при условии существования
нулевого приближения
2.6 Оценка остаточного члена
2.7 Существование главного члена угловой части
асимптотики в монотонном случае
2.8 Существование главного члена угловой части
асимптотики в немонотонном случае
3 Другие эллиптические и параболические задачи
3.1 Другие эллиптические задачи
3.2 Другие параболические задачи
4 Приложения
4.1 Об уравнениях химической кинетики и других приложениях
4.2 Пример
Заключение
Список литературы

0.1 Введение
Актуальность темы. Современная теория асимптотических разложений начинается с работы Пуанкаре 1886 г. (см. [56]), в которой было введено понятие асимптотического ряда. Понятие пограничного слоя и уравнений, описывающих течение в зоне пограничного слоя, ввел JI. Праидтль в 1904 г. (см. [57]). К середине 20 века были получены многочисленные результаты по теории дифференциальных уравнений с малым параметром. Обширная библиография на эту тему приведена в книге В. Вазова (см. [9]). Определяющими для последующего развития теории дифференциальных уравнений с малым параметром явились работы А.Н. Тихонова конца 40-х - начала 50-х годов (см. [42]—[44]). В дальнейшем оформились основные направления теории: метод пограничных функций (М.И. Вишик, JI.A. Люстерник, В.А. Треногин, А.Б. Васильева; В.Ф. Бутузов и др., см. [14], [47], [11] - [13]), метод усреднения (H.H. Боголюбов, Ю.А. Митропольский, В.М. Волосов, М.М. Хапаев и др., см. [4], [32], [16], [49]), методы типа ВКБ (В.П. Маслов, М.В. Федорюк и др., см. [29], [48]), теория релаксационных колебаний (Л.С. Понтрягин, Е.Ф. Мищенко, Н.Х. Розов и.др., см. [39], [33]), метод регуляризации (С.А. Ломов и др., см. [28]), метод сращивания асимптотических разложений (А.М. Ильин и др., см. [18]). Различные направления теории сингулярных возмущений интенсивно развивались и за рубежом (см. [53]).
В 1957 г. была опубликована статья М.И. Вишика и Л.А. Люстерника (см. [14]), в которой был сформулирован общий подход к построению асимптотических разложений решений линейных сингулярно возмущенных уравнений с частными производными. Такие задачи возникают в химической кинетике, синергетике, биологии, астрофизике, лазерной оптике. Были рассмотрены задачи в областях с гладкими границами, а асимптотические разложения решений строились в виде суммы регулярной и пограислойной частей. В 1970-х годах В.Ф. Бутузов (см. [5]) применил метод погранфункций к задачам в областях с угловыми точками границы. Для линейных сингулярно возмущенных эллиптических уравнений была исследована задача Дирихле. Были построены асимптотические разложения решений в виде суммы регулярной, пограислойной и угловой частей.
Переход к нелинейным уравнениям оказался сопряженным с принципиальными трудностями, касающимися, прежде всего, отсутствия методов решения нелинейных задач и получения необходимых оценок. Возникающих проблем удавалось избежать при рассмотрении задачи Неймана, но для эллиптических уравнений основной интерес представляет задача Дирихле. Задача асимптотического интегрирования нелинейных сингулярно возмущенных уравнений с частными производными является естественным обобщени-
ем рассмотренных ранее задач, представляет важное направление в теоретических исследованиях, имеет многочисленные приложения к модельным задачам и потому является актуальной.
Цель работы:
1. Получение асимптотических разложений решений нелинейных сингулярно возмущенных уравнений с частными производными в областях с угловыми точками границы.
2. Развитие метода угловых погранфункций.
3. Развитие метода барьеров (верхних и нижних решений).
4. Модификация метода дифференциальных неравенств.
Научная новизна. Основные результаты диссертации являются новыми и состоят в следующем:
1. Получены асимптотические разложения решений широкого класса нелинейных сингулярно возмущенных уравнений с частными производными в областях с угловыми точками границы.
2. Модифицирован метод угловых погранфункций и доказано, что этот метод эффективно применим к нелинейным сингулярно возмущенным эллиптическим и параболическим уравнениям с краевыми условиями 1-го рода в областях с угловыми точками границы.
3. Введено новое принципиальное понятие кусочно-гладких барьеров (верхних и нижних решений) для задач, определяющих угловые пограпфунк-ции.
4. Проведено сглаживание кусочно-гладких барьеров и доказано существование решений угловых погранслойных задач, возникающих при использовании метода угловых погранфункций для нелинейных сингулярно возмущенных уравнений с частными производными в областях с угловыми точками границы.
5. Модифицирован метод дифференциальных неравенств и с его помощью проведена оценка точности построенных асимптотических разложений решений сингулярно возмущенных краевых задач.
6. Изучены новые достаточно широкие классы {Ц уз} функций, удовлетворяющих функциональным неравенствам, достаточным для применения метода угловых погранфункций. Доказано, что этим классам принадлежат многие "традиционные" классы функций.
Предложенные методы позволяют исследовать достаточно широкие классы сингулярно возмущенных краевых задач в областях с угловыми точками границы, что является новым направлением исследования нелинейных дифференциальных уравнений с частными производными. Тем самым решена крупная научная проблема асимптотического интегрирования нелинейных сингулярно возмущенных уравнений с частными производными в областях

В силу (5.15) имеем

8/б (2р{
25а = ( — J «і < р - т.
Через го обозначим значение функции v (гу) в точке г) = р — 5q :
го = — 5о). В качестве 5 возьмем решение уравнения ^(р + 2<5) = Го,
то есть гехр(—к(р + 26)) — го, откуда

2
Выясним поведение величины при 5о “^ 0. Имеем
2к6 = In г — In го — /t]р.
Величина г = Д) ехр(кцр), поэтому
In г = 1пД + кір.
Величина
^о = щ(р - S0) = А0 sin —— = А0cos ^ = А0 + ^-8% + О (<5q) =
2 р 2 pi
= Ао Поэтому
1+^+0«)

, где А2 = v"(p) = -Ао ( .

1пг0 = 1п По + -^81 + О ($) ,
2К16 = -^-% + 0{8$). (5-19)
Функцию vo(r]) составим из трёх кусков:
{Voi(rj), если р + 8<г]<р-{-2б
Vo2(v), если Р < V < Р + à
v03(г?), если р - 280 < р < р
Сначала построим функцию voi(p)> положительную, убывающую и вы-
пуклую вниз на промежутке р + 6 < rj < р + 25. Имеем
V2(î?) = rexp(-Kir?) = r0exp(-Ki(T7 - р - 25)).