Операторы Ванье-Штарка с сингулярными потенциалами

• Автор: Пожарский, Алексей Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 84 с.

^ Г л а в а 1. Асимптотическое поведение решений уравнения

Ванье-Штарка

§1.1. Дискретная система

§1.2. Адиабатические решения

§1.3. Точки поворота

§1.4. Переход через точки поворота

§1.5. Асимптотики решений уравнения Ванье-Штарка

Глава 2. Спектральные свойства оператора Ванье-Штарка

§2.1. Функция Вейля

§2.2. Спектральное тождество

§2.3. Некоторые оценки

* §2.4. Доказательство леммы 7 и теоремы
§2.5. Подчиненные решения
* §2.6. Доказательство теорем 3 и
§2.7. Самосопряженность оператора Ванье-Штарка
Публикации по теме диссертации
Список литературы
1. Рассмотрим одномерный оператор Ванье-Штарка
н=-^-Рх+р{х)
в Г2(К_(.) на подходящей области определения. Здесь Г1 > 0 и р(х) -’ вещественная периодическая функция: р(х + 1) = р(х). Рассмотрим

также спектральное уравнение
—гр" — Рхгр р(х)ф = Етр. (1)

Исследование операторов Ванье-Штарка имеет как теоретическое, так и прикладное значение. Для математиков этот оператор интересен тем, что это оригинальная модель с нетривиальными спектральными свойствами. Эта модель вызывает определенный интерес и с точки зрения физиков: и потому, что для нее можно найти прямые интерпретации, и поскольку на ней физики ожидают увидеть интересные трансформации спектра в зависимости от свойств гладкости и параметров. Операторы Ванье-Штарка возникают, например, при описании динамики квантового электрона в кристалле, помещенном в однородное электрическое поле. Разгоняющие свойства линейного потенциала конкурируют с запирающими свойствами сингулярной решетки: запрещенные зоны в спектре периодической задачи остаются достаточно длинными и начинают заметно отражать частицу. Ожидается, что баланс наступает для потенциалов с особенностями типа дельта-функция, однако на настоящий момент эта гипотеза остается не доказанной. Это, конечно, выглядит весьма интригующим и для математиков.
Известно, что спектральные свойства оператора связаны с поведением решений спектрального уравнения в бесконечности. Изучение асимптотического поведения решений в бесконечности представляется интересной задачей и само по себе. Для получения асимптотик решений обычно применяют квазиклассический метод. Для применения этого метода необходимо предполагать, что периодический потенциал - дважды непрерывно дифференцируемая функция, что является довольно сильным ограничением. Квазиклассическая техника позволяет доказать, что оператор Ванье-Штарка с дважды непрерывУ но дифференцируемым потенциалом имеет однократный абсолютно
непрерывный спектр, заполняющий всю вещественную ось. Наличие

особенностей у периодического потенциала выглядит вполне реалистично с точки зрения приложений. Поэтому важно уметь анализировать спектральные свойства оператора Н при достаточно широких предположениях относительно гладкости периодического потенциала. Систематическая теория для построения асимптотик решений уравнения (1) в случае негладких или даже сингулярных периодических потенциалов пока отсутствует. Тем не менее, в ряде случаев удается описать спектральные свойства оператора Ванье-Штарка. Во всех этих случаях авторы рассматривают либо все еще гладкие, либо сильно сингулярные потенциалы (с особенностями типа дельтафункция и выше), и вопрос о природе спектра оператора Ванье-Штарка, для достаточно широкого класса потенциалов, до сих пор оставался открытым. Известны примеры операторов Ванье-Штарка, связанные с сильными особенностями у периодического потенциала, для которых спектр не содержит абсолютно непрерывной компоненты. При этом нет четких условий на гладкость потенциала, при которых спектр все еще чисто абсолютно непрерывный, равно как нет условий, при которых сохраняется абсолютно непрерывная компонента спектра.
Из сказанного выше ясно, что изучение как спектральных свойств оператора Ванье-Штарка, так и асимптотических свойств решений спектрального уравнения (1) в случае негладких локально суммируемых потенциалов не погружается в рамки известных построений и требует привлечения новых методов. Настоящая работа посвящена изучению этих двух взаимосвязанных вопросов. Методы, разработанные в диссертации, являются достаточно общими и могут быть успешно применены для изучения операторов более общего вида.
2. Перейдем к обзору предшествующих результатов. Один из первых результатов был получен для уравнения вида
—ф" — ь{х)ф = 0, х > 0. (2)

Доказательство. Матрица (//, /2), составленная из векторов // и /2, удовлетворяет уравнению
Из условия ВвЦ^ТЕ;) = 1 следует, что
йе1(//+1, /г2+1) = <1е1(//, /2) = ёе!(/г1,/2) = С2 Ф С2(1).
(1.5)
Включения Д 6 /2(^+,С2) при j = 1,2 влекут существование пределов Ит^оо // = 0. Отсюда с учетом (1.5) вытекает равенство беЦ/Д/2) = 0, из которого следует линейная зависимость решений Iх И /2. □
Лемма 16. Множество П;>оА не пусто и состоит из одной единственной точки.
Доказательство. Существование Со € Д>0Д вытекает из замкнутости множеств Д и полноты пространства комплексных чисел. Единственность докажем от противного. Пусть С? £ П;>()Д, у = 0,1 и Со Ф Сь Тогда Д = 0 + С,у? ^ /2(2+, С2) при ] = 0,1 и в силу леммы 15 являются линейно зависимыми. Отсюда, полагая I — 0, получим, что Со = Сь □
Перепишем условие (1.4) в виде
Ыг) +т(г)Ы{г) <
siiz) + т(г)е[(г) ~
и рассмотрим отображение
^(г) + ш(Д/1{(г)

в/(г) + ш(г)ег(г)'
В силу соотношения в(/г; — /Щ; = с1еЦ0/, у?г) = 1 существует обратное отображение, которое задается в виде
, , Ы*) - Мг)ш (л а
ш(г,г,го) = -т-т-т тщ—■ (1-6)
П[(г) - е1{г)ю