Эллиптические алгебры

• Автор: Одесский, Александр Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 127 с.

Эллиптические алгебры
А. В. Одесский
§1. Алгебры с тремя образующими
§2. Алгебра <5,%{£,ц)
1. Конструкция
2. Основные свойства алгебры С^п{£, щ)
3. Бозонизация алгебры <3П(£,77)
4. Представления алгебры (^п(£, т})
5. Симплектические листы
6. Свободные модули, образующие и соотношения
§3.Основные свойства алгебр С)п,к(£,г1)
§4.Эллиптическая Я-матрица Белавина и алгебра (Зп,к{£> V)
§5. Алгебры Яп,к(£,11) и обменные алгебры
1. Гомоморфизмы алгебры С^п,к{£,я) в динамические обменные алгебры
2. Гомоморфизм обменной алгебры в алгебру С}п,к(£,‘п)
Приложение А. Тэта-функции одной переменной

Приложение В. Некоторые тэта-функции нескольких переменных, ассоциированные со степенью эллиптической кривой
Приложение С. Сопряженность пространств 6„д(Г) и 0п/п-л
(Г)
^ Приложение Э
1. Интегрируемые системы, квантовые группы и Я-матрицы
2. Деформационное квантование
3. Многообразия модулей
4. Некоммутативная алгебраическая геометрия
5. Когомологии алгебр

Приложение Е. Эллиптические /{-матрицы Белавина
и обменные алгебры
1. Введение
2. Д-матрица Белавина
3. Динамические алгебры
• с обменными соотношениями
4. Гомоморфизмы алгебры Zn^(Г, г)) в динамические алгебры
с обменными соотношениями
5. Полиспектральные алгебры
с обменными соотношениями

6. Гомоморфизм полиспектральной алгебры с обменными соотношениями в алгебру 2П1к(Г> Г))

Приложение Р. Случай точки конечного порядка
1. Введение
2. Алгебры СЭп,к(£,'п)
3. Случай точки конечного порядка
4. Подкрученные алгебры <3П^(£, ??)
Приложение в. Эллиптические деформации алгебр токов и их представления разностными операторами
1. Введение
2. Конструкция алгебр <5П1д(£, т;)
3. Представления алгебры <Э„,д(£,??)
4. Сплетающие операторы
5. Центр алгебры <2п,д(£, V)
Актуальность исследования
Один из основных методов при изучении точно решаемых моделей в квантовой и статистической физике это метод обратной задачи теории рассеяния. В основе этого метода лежит изучение представлений так называемой алгебры Т.-операторов, которая строится по каждому фиксированному решению квантового уравнения Янга-Бакстера (квантовой 11-матрице). Известны различные классы решений этого уравнения, которые, в соотвествии с характером зависимости от спектральных параметров, называются рациональными, тригонометрическими и эллиптическими. Наиболее сложными и интересными являются эллиптические

с собственным значением А. Поскольку = 1 на пространстве 0п//с(Г), имеем

к к
2жг— 2жг—
А" = 1. Кроме того, ТіТі / = е пТ = е пТі /, значит,
— —т —т — —т —Г
П П П П П П

2т: і—
опять собственный вектор с собственным значением е п А. Поскольку пик к
2ж і—
взаимно просты, е га — примитивный корень из 1 степени га. Значит, вектора {Т| /; а = 0,1 га — 1} — собственные для оператора с различными
гаТ га
собственными значениями, причем любой корень из 1 степени га является собстственным значением для какого-то /. Пусть гго таков, что о = гпо,
пТ га

27г г—а
определим и)а = и)0, ясно, что = е га гиа, та = ща+і. Кроме того,
— т Т
п п П
Ма+п = 'Ша, т.к. = 1 на пространстве 0„^(Г). □

Заметим, что как и в случае тэта-функций одной переменной, группа Гп неприводимо действует на пространстве ©п/іь(Г): а 1-э Ті, Ь і-» ,/і
га га

2тгі
умножение на е п.
Замечание. Пусть Ь — группа линейных автоморфизмов пространства функций р переменных вида
для д е Ь. Ясно, что Ь — группа Ли размерности 2р +- 1. Пусть I/ С Ь — подгруппа преобразований, сохраняющих пространство 0и/к(Г), т.е. £' = {