Асимптотики в задачах о линейных волнах на мелкой воде, порожденных локализованными источниками

• Автор: Ложников, Дмитрий Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2014
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 98 с. : ил.

Оглавление
1 Введение
1.1 Характеристика работы
1.2 Краткое содержание диссертации
1.2.1 Введение
1.2.2 Асимптотическое решение в окрестности регулярных точек фронта
1.2.3 Асимптотическое решение в окрестности фокальных точек фронта
1.2.4 Асимптотическое решение при малых временах
1.2.5 Распространение длинных волн над подводными банками
и хребтами
1.3 Благодарности
1.4 Публикации автора по теме диссертации
2 Асимптотическое решение в окрестности регулярных точек фронта
2.1 Постановка задачи
2.2 Асимптотическое решение в окрестности регулярных точек фронта
2.3 Алгоритм построения возвышения свободной поверхности жидкости в окрестности регулярных точек фронта
2.4 Сравнение асимптотических формул для окрестности регулярных
точек фронта с численным моделированием волн цунами

2.5 Алгоритм вычисления суммы функций, построенных на сетках с
не совпадающими узлами
3 Асимптотическое решение в окрестности фокальных точек фронта
3.1 Определение асимптотического решения в окрестности фокальных точек
3.2 Примеры волновых фронтов и поведение основных величин вдоль
фронта
3.3 Склейка асимптотики для окрестности регулярных точек фронта
с асимптотикой для окрестности фокальных точек
3.4 Доказательство теоремы
4 Асимптотическое решение при малых временах
5 Распространение длинных волн над подводными банками и хребтами
5.1 Образование фокальных точек и волн над круглыми банками
5.2 Фокальные точки и волны над вытянутыми банками: появление
пространственно-временных каустик
5.3 Поведение возвышения свободной поверхности жидкости в окрест-
ности фронтов с каскадом пространственно-временных каустик: подводный хребет как генератор захваченных волн
5.4 Волны над кривыми хребтами
5.5 Алгоритм построения каустик
6 Заключение
Список литературы

Глс1Вс1
Введение
1.1 Характеристика работы
Актуальность темы. Диссертация посвящена исследованию асимптотических решений задачи Коши для двумерного волнового уравнения с переменными коэффициентами и линеаризованной системы уравнений мелкой воды с локализованными начальными данными. Рассматриваемые уравнения относятся к классу линейных гиперболических систем с переменными коэффициентами. Для систем такого типа основная масса публикаций в математической литературе была посвящена асимптотикам решений, описывающих распространение сингулярностей (типа 6 -функции) и часто называемых “разложениями по гладкости” (Д. Людвиг, В.М. Бабич, Л. Хермандер, Й. Дюйстермаат, Ю.В. Егоров, В. Гийемин, Ш. Стернберг и др. [1, 2, 3, 4]). Асимптотиками, которые описывают быстроосциллирующие решения занимались В.П. Маслов и М.В. Федорюк [5, 6, 7, 8, 9, 10, 11], В.М. Бабич, В.С. Булдырев и Л.А.Молотков [12, 13, 14, 15], Ю.А. Кравцов, Б.Р. Вайнберг (16], Л.М. Бреховских [17], А. Майда, В.Г. Данилов, Ле Ву Ань [18, 19, 20], В.В. Кучеренко [21], Б.Ю. Стернин, В.Е. Шаталов [22], С.Ю. Доброхотов [23], [24], [25], [26], [27]. Публикаций, посвященных асимптотике решения задачи Коши с локализованными начальными данными для линейных гиперболических систем до сравнительно недавнего времени в

(?, у), и индекс г соответствует оси г, а индекс j соответствует оси у. Пусть также точка (г, у) находится на расстоянии Нх от границы но оси х. Тогда значение г/ на границе 77* • выбиралось таким же, как в ближайшей соседней точке (г, ,7), т. е. т/14 = ГЦу.
Стоит отметить, что несмотря на то, что в данной работе рассматривается свободное распространение волн в океане, такое граничное условие можно использовать, если в интересующий нас момент времени волна находится достаточно далеко от границы расчетной области. Параметры дна, а также параметр /т и время счета такие же, как для Рисунков 2.3, 2.4. В качестве расчетной области был взят квадрат со стороной I = 7. Начало координат находится в центре квадрата, сетка была выбрана равномерной, и число точек сетки но каждому направлению составляло 10000.
Рис. 2.8. Два сечения возвышения свободной поверхности жидкости по оси У, проходящие через точку самопересечения фронта. Первое сечение посчитано по асимптотическим формулам для окрестности регулярных точек фронта, второе посчитано с помощью конечноразностной схемы
На Рисунках 2.6, 2.7 изображено возвышение свободной поверхности жидкости в окрестности точки самопересечения фронта, полученное при численном