Тау-функция Бергмана на пространствах разветвленных накрытий сферы и абелевых дифференциалов

• Автор: Кокотов, Алексей Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 174 с.

1 Введение

2 Тау-функция Бергмана на пространстве разветвленных накрытий сферы Римана

2.1 Пространства Гурвица

2.1.1 Проективные связности Бергмана и Виртингера

2.1.2 Вариационные формулы

2.1.3 Проективные связности Бергмана и Виртингера на разветвленном накрытии сферы

^ 2.2 Тау-функции Бергмана и Виртингера разветвленных накрытий

сферы

2.2.1 Тау-функция Виртингера

2.2.2 Тау-функция Бергмана

2.3 Рациональный и эллиптический случаи
2.3.1 Плоские метрики на римановой сфере и торе
^ 2.3.2 Регуляризованный интеграл Дирихле
2.3.3 Факторизация интеграла Дирихле и тау-функции рациональных и эллиптических накрытий
2.3.4 Тау-функция двулистного рационального накрытия
2.3.5 Тау-функция двулистных эллиптических накрытий
2.4 Случай старшего рода
2.4.1 Интеграл Дирихле и униформизация Шоттки
2.4.2 Плоская метрика на С dissected
2.4.3 Регуляризованный интеграл Дирихле
2.4.4 Действие Лиувилля и фуксова униформизация
2.4.5 Квадрат модуля тау-функций Бергмана и Виртингера
для накрытий старшего рода
Вычисление тау-функции Бергмана для накрытий старшего рода
3.1 Доказательство основной теоремы
3.1.1 Вариационные формулы на пространствах разветвленных накрытий
3.1.2 Интеграл Дирихле: его вариация и голоморфная факторизация
3.2 Вычисление тау-функции
3.2.1 Род
3.2.2 Тау-функция на произвольном страте пространства Гурвица
Приложения бергмановской тау-функции
4.1 Тау-функция Бергмана как изомонодромная тау-функция фробениусова многообразия

4.2 Вклад рода 1 в свободную энергию в эрмитовой двуматричной модели
4.3 Детерминант Лапласиана в метрике Пуанкаре
5 Тау-функция Бергмана на пространстве абелевых дифференциалов
5.1 Вариационные формулы на пространстве абелевых дифференциалов на римановых поверхностях
5.1.1 Координаты на пространстве абелевых дифференциалов
5.1.2 Вариационные формулы
5.1.3 Базисные дифференциалы Бельтрами для %д{к,.км)
5.2 Тау-функция Бергмана
5.2.1 Глобальное определение бергмановской тау-функции .
5.3 Интеграл Дирихле: вариационные формулы и голоморфная факторизация
5.3.1 Голоморфная факторизация интеграла Дирихле
5.3.2 Вариация интеграла Дирихле
5.4 Явное выражение для тау-функции Бергмана
6 Детерминанты лапласианов в плоских конических метриках И2
6.1 Предварительные сведения о детерминантах лапласианов в гладких метриках

но выше, производная по Хт соответствует вариации комплексной структуры, определяемой дифференциалом Бельтрами /лт из (2.14), поэтому
1 / (I Гт~2 , . г П| д л ( «1е1 д
[гт 2)! (1хг
-{*■*"}) 1^-0 ■=
(2.82)
1 Замечание 3 Эта формула объясняет появление множителя —| в определении (2.25) связности Вт.
Следовательно, вычисление модуля бергмановской тау-функции накрытия С СВОДИТСЯ К поиску вещественнозначной функции §ДисЛа(Аь .. • , Ам) такой,

ВЗгшь, = 1 М У"2
дт ' тт (т1П 2)! dxmj
{г, хт} , т = 1,... М. (2.83)
#771
Другая связь тв с уже известными объектами устанавливается рассмот-рением униформизации Шоттки накрытия С. Именно, поверхность С (рода д > 1) биголоморфно эквивалентна фактору
£ = Б/£ ,
где £ - (нормализованная) группа Шоттки, Б С Р1 - область разрывности. Обозначим через 7ге : Б -» С естественную проекцию.
Введем проективную связность Шоттки на С как шварцеву производную {од х}, где х - локальный параметр для Р Є С; со Є В; 7Гд(о;) = Р.
Согласно (2.18) и результатам Зографа [64] (см., в частности, Замечание