Адиабатическое приближение и квазиклассические асимптотики для математических моделей наноструктур

• Автор: Тудоровский, Тимур Яковлевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 88 с.

Общая характеристика работы
Основные результаты
Динамика носителя заряда и спина в квантовых трубках
Разрушение локального описания в квазиодномерных волноводах
ф Обобщенное преобразование Фолди-Ваутхайзена
Благодарности
1 Эффективная динамика носителя заряда в нанотрубках
1.1 Эффективные уравнения и гамильтонианы на подзонах размерного квантования
1.2 Эффекты, связанные со спином
2 Адиабатическое приближение и его разрушение в квазиодномерных волноводах переменной толщины
2.1 Прямой волновод с “неровными” стенками
2.1.1 Адиабатическое приближение
2.1.2 Квазиклассические асимптотики
2.1.3 Сверхвозбужденные продольные состояния
> 2.2 Торический волновод с “неровными” стенками в сильном магнитном поле
2.2.1 Адиабатическое приближение
^ 2.2.2 Квазиклассические асимптотики
2.2.3 Сверхвозбужденные продольные состояния
2.3 Приложения к Главе
3 Эффективная динамика носителя заряда в нанопленках
3.1 Эффективные уравнения и гамильтонианы на подзонах размерного квантования

4 Обобщенный адиабатический принцип. Операторное разделение переменных
ф 4.1 Постановка задачи
4.2 Идея операторного разделения переменных
4.3 Схема операторного разделения переменных
4.4 К оценке точности асимптотических разложений
4.5 Операторное разделение переменных на примере преобразования
Фолди-Ваутхайзена
4.6 “Сверхвозбужденные” состояния. Скалярный гамильтониан
Список литературы

Общая характеристика работы
Актуальность темы. Прогресс в нанотехнологии позволил создавать тонкие протяженные квазиодномерные и квазидвумерные структуры сложной геометрии - панотрубки и папопленки. Среди наноструктур наибольший интерес в настоящее время представляют углеродные нанотрубки [23, 31, 35, 9, 49]. Значительный технологический прогресс также достигнут в производстве наноструктур из полупроводниковых материалов [30].
Характерные поперечные размеры наноструктур - диаметр трубки и толщина пленки - б ~ 14- Юнм (10-т-100 А) - сопоставимы с дебройлевской длиной волны электрона Л = 2л/кр ~ 1 нм с энергией порядка энергии Ферми ер ~ 1 эВ. Это обстоятельство приводит к эффекту “размерного квантования” в низкоразмерных системах: область локализации волновой функции по поперечным направлениям ~ Л и энергия, отвечающая движению вдоль этих направлений квантуется. Характерный продольный размер Ь наноструктур обычно существенно больше б (например, Ь ~ 100 нм, см. [30]).
Слабость электрон-фононного взаимодействия в наноструктурах приводит к упругому баллистическому транспорту электрона на большие расстояния [31]. Таким образом, наноструктуры можно рассматривать в качестве квантовых волноводов или квантовых проводов, которые предполагается использовать при создании нового поколения наноэлектроники. Специфика квантовых волноводов заключается в том, что электрон обладает спином. Спиновая степень свободы, по-видимому, может существенно влиять на динамику электрона. В свою очередь, можно воздействовать на спин посредством геометрии структуры и внешнего магнитного поля. Последнее обстоятельство предполагается использовать в спинтронике - будущей основе приборов для квантовых вычислений. Здесь спиновая степень свободы является носителем информации [56].
Математические модели низкоразмерных структур. В рассматриваемой нами модели (приближение эффективной массы) указанные структуры представляют собой “сплошные” области типа тонкого изогнутого цилиндра с “закрученной границей” и тонкой искривленной пленки. Вне этих областей волАсимптотики собственных функций, отвечающих собственным значениям EVlV2n имеют вид
ФГ" = nmz,z2-1/2 X { “s (([Hpl/c2h)} +
n){ + 2|^1^г/2 + 2zl ^ ~ ^ + ~ + 1/2)-^rs(^2)J x
x exp (-y2/(2|£i|2) - z2/(2Z22)) H^yHZ^H^z/lZiW (2.60)
где ipo - специальная точка на оси [14], Ny = 7г—!/42—^/2(ix!)—1/2, знаки ’±’ соответствуют cos и sin.
Собственные значения EvlV2n асимптотически двукратно вырождены. В случае, когда А"1"2" приближают два невырожденных собственных значения
1,2,1 < £-"2П, расщепление - £T2Tl = 0(ц°°).
2.3 Приложения к Главе 2 Приложение 2.1.
Пусть (и(£) - нормированная собственная функция задачи 1 ( д'2С , г2
2 ^ ^•+^по = (*'+1/2)ст
С"(0 = К ехр(-е/2)1Ш, К = 7г_1/42_1//2(^!)_1/2. (2.61)
Тогда функции Хо (2-7) имеют вид
Х^ = П1/4(т)С(П1/2(х)у). (2.62)
Отсюда находим
(263>
Последнее выражение можно упростить. Для этого введем в задаче (2.61) операторы рождения-уничтожения:
а=^(?+1)’ а+ = ;М?'!)’ [а,а+|“1- (2,64)
Пользуясь равенством
г д а2 — а2+
^ = 2 2’