Классификация дискретных интегрируемых уравнений

• Автор: Адлер, Всеволод Эдуардович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Черноголовка
• Количество страниц: 288 с. : ил.

Оглавление
Введение
1 Преобразования Дарбу-Бэклунда
1.1 Преобразование Дарбу дли уравнения Шрёдингера
1.2 Группа перестановок, ЗБ-совместность, отображения
Янга-Бакстера
1.3 Представление нулевой кривизны
1.4 Преобразования Дарбу для уравнения Дирака
1.5 Преобразование Дарбу для дискретного уравнения Шрёдингера
1.5.1 Цепочка Вольтерра
1.5.2 Модифицированная цепочка Вольтерра
1.6 Векторный пример
Комментарии к главе
2 ЗП-совместные квад-уравнения
2.1 Обсуждение постановки и основной результат
2.2 Доказательство классификационной теоремы
2.2.1 Анализ условий совместности
2.2.2 Восстановление квад-уравнений
2.3 Трехногая форма квад-уравнений
2.4 Преобразования Бэклунда для уравнений тина КдФ
2.5 Уравнения с невырожденными биквадратиками
2.5.1 Анализ сингулярных решений
2.5.2 Инварианты дробно-линейных преобразований
2.5.3 Классификация невырожденных систем
2.6 Примеры асимметричных систем
Комментарии к главе
3 Уравнения на квад-графах
3.1 Основные понятия
3.2 Задача Коши
3.3 Квадратная решётка с локальным дефектом
3.4 Солитоны на квад-графах

Оглавление
Комментарии к. главе
4 Квадрирациональные отображения
4.1 Основные определения
4.1.1 ЗЦ-совмсстносгь и отображения Янга-Бакстера
4.1.2 Квадрирациональные отображения
4.2 ЗЦ-совместные отображения на кониках
4.3 Редукция квад-.Уравнений
4.4 Структура квадрирациональных отображений
4.5 Многополевые обобщения
Комментарии к главе
5 Уравнения типа Тоды
5.1 Дискретные уравнения типа Тоды на графе
5.2 Связь с уравнениями иа к сад-графах
5.3 Уравнения типа Тоды на треугольной решётке
5.4 Преобразования дуальности на треугольной решётке
5.4.1 Преобразования дуальности
5.4.2 Доказательство классификационной теоремы
5.4.3 Вложение в кубическую решётку
5.5 Цепочки Рудженарса-Тоды
5.5.1 Преобразование дуальности
5.5.2 Доказательство классификационной теоремы
5.5.3 Цепочки Тоды
5.6 Вариационные симметрии
Комментарии к главе
6 Двухкомпонентные гиперболические системы
6.1 Пары совмсс гных цепочек
6.2 Классификация
6.2.1 Анализ условия совместности
6.2.2 Цепочки о а(и, у) ф а(и)а2(у)
6.2.3 Цепочки с а(и,г) = а1(ц)а2(г)
6.2.4 Исключительные цепочки
6.3 Ассоциированные уравнения
6.3.1 Гиперболические системы
6.3.2 Цепочки Рудженарса-Тоды
6.3.3 Дискретные цепочки Тоды
Комментарии к главе
7 Дискретизация уравнения Ландау-Лифшица
7.1 Цепочка Склянииа
7.2 Уравнения в частных производных
7.3 Представления нулевой кривизны
Оглавление
7.4 Стационарная цепочка
7.5 Дискретное уравнение Ландау-Лнфшица
Комментарии к главе
8 Интегрируемые изотропные цепочки Вольтерра на сфере
8.1 Постановка классификационной задачи
8.2 Список интегрируемых цепочек
8.3 Необходимые условия интегрируемости
8.4 Анализ условий интегрируемости
8.4.1 Первый шаг
8.4.2 Случай 1: ф
8.4.3 Случай 2: fVl _1 =
8.5 Ассоциированные уравнения в частных производных
8.6 Предсимплоктическая структура
Комментарии к главе
9 Дискретное уравнение Кадомцева-Петвиашвили (АКР)
9.1 Вывод АКР из линейных задач
9.2 Уравнения, связанные с АКР
9.3 Решётка Менелая
9.4 Тангенциальное отображение
9.4.1 Определение и ЗО-совмсстность
9.4.2 Факторизация дифференциальных операторов
9.4.3 Локсодромическая редукции
9.4.4 Редукция к преобразованию Дарбу
9.4.5 Дискретное тангенциальное отображение
9.4.6 Отображения высших порядков
Комментарии к главе
10 Классификация интегрируемых уравнений типа АКР
10.1 4D-coBMecTHocTb
10.1.1 Классификационный результат
10.1.2 Предел из АВКР
10.1.3 Совместные тройки бсздисисрсионных уравнений
10.2 Анализ условий совместности
10.2.1 Следствия из условий совместности
10.2.2 От троек к пятёркам
10.2.3 Сведение к функциям от трёх переменных
10.3 Трёхногая форма уравнений
10.3.1 Определения и обозначения
10.3.2 Классификация трёхногих уравнений
10.3.3 Сведение к функциям от двух переменных
10.3.4 Случай I
10.3.5 Случай II

Глава 1. Преобразования Дарбу-Бэклунда
Теорема 1.11. Преобразования Як, действующие на параметрах ап и переменных ип, уп по формулам

(ак - о*:_1)г(4+1 _
ик = ик- , и„ = ип, пф к,
1 — ик+1Ук-
{ак-1 - ак)ук- . _ (1.47)
ук — ук -Ь , нп —п ф к,
1 - Нк+1Ук~
ак = ак-1, ак-1 = ак, ап = ап, пфк-1,к,
переводят решения цепочки (1.46) в решения и удовлетворяют тождествам (1.20).
Доказательство нетрудно получить, исходя из того, что преобразование Лк определяется, как единственное решение уравнения
ЦТ(ик+1,ук, ам)Ж(йь Ук-1, ак) = ]¥(ик+1, ук, ак)¥(■ик, »ц,«и)-
Вместо преобразований Л^, свойство перестановочности можно записать также, как двухкомпонентное квад-уравнение
(“;-а.К- _ (а/ - »>
3 г — 1 ’ и3 иг — -I ’
1 — и^У 1 — Иу V
где индексы г,3 отвечают двум разным преобразованиям вида (1.45). Существенное отличие этого уравнения от дискретного уравнения КдФ (1.25) заключается в том, что оно неразрешимо относительно переменных (м, н) или (иу, Иц). Поэтому формулировка свойства ЗН-совместности возможна здесь лишь при выборе начальных данных в некоторой последовательности вершин на кубе, например (и,у), (щ, у/), (и 12,1112)1 (Щ23,1>12з), что равносильно тождествам (1.20).
Нетрудно сообразить, что более симметричным является двукратное преобразование Дарбу (и, у) —/■ (й,у), отвечающее матрице
¥ — У(й, У-,а)М?~1{и, У-1, а-/) = ¥~1(и1,у, а-1)1У(и1,у,а),
в которой переменная (или 111) исключена при помощи соотношений (1.47). Несложное вычисление приводит к матрице

_/2А —/3 —/ и — й ~ V V -V 2 Х-/3 + /)’
Р = ^(« + 0-1)1 /2 = |(о - 0-1)2 - {и- Й)(ц - у).
Отвечающее ей преобразование Дарбу имеет вид
(и - й)х = Р(и - й) + {и + й)/, (ц - у)х = &{у - у) + (у + у)/. (1-48)