Сингулярно возмущенные задачи в случае неизолированных корней вырожденного уравнения

• Автор: Терентьев, Михаил Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 127 с.

Оглавление
Введение
Краткое содержание работы
Соглашения
1 Системы обыкновенных дифференциальных уравнений в случае пересечения корней вырожденной задачи
1.1 Постановка задач
1.1.1 Постановка задач и требования
1.1.2 Составное устойчивое решение
1.1.3 Метод дифференциальных неравенств
1.2 Существование и асимптотика решения начальной задачи
1.2.1 Начальная задача на отрезке [0, хо — £]
1.2.2 Построение нижнего и верхнего решений на отрезке [х0
5, х0 + 5]
1.2.3 Начальная задача на отрезке [хо + 5/2,1] и формулировка
теоремы
1.3 Существование и асимптотика решения краевой задачи
1.3.1 Дополнительные требования
1.3.2 Построение нижнего решения
1.3.3 Построение верхнего решения
1.3.4 Завершение исследования и формулировка результата
1.4 Обсуждение результатов

2 Эллиптическая краевая задача в случае неизолированного корня вырожденного уравнения
2.1 Постановка задачи
2.1.1 Постановка задачи и требования
2.1.2 Метод дифференциальных неравенств
2.2 Существование и асимптотика решения
2.2.1 Функция г{х,"()
2.2.2 Срезающие функции
2.2.3 Процедура сглаживания
2.2.4 Верхнее решение
2.2.5 Нижнее решение
2.2.6 Формулировка теоремы
2.3 Случай отсутствия решения
2.4 Обсуждение результатов
3 Системы эллиптических уравнений в случае неизолированного корня вырожденной задачи
3.1 Постановка задачи
3.1.1 Постановка задачи и требования
3.1.2 Метод дифференциальных неравенств
3.2 Существование и асимптотика решения
3.2.1 Некоторые построения и леммы
3.2.2 Верхнее решение
3.2.3 Нижнее решение
3.2.4 Формулировка теоремы
3.3 Обсуждение результатов
Приложение
Быстрые бимолекулярные реакции
Заключение
Литература

Введение
Математическими моделями многих процессов в физике, астрофизике, химии, биологии, социологии, технике часто служат дифференциальные уравнения, содержащие различные параметры. Входящие в уравнение параметры служат количественными характеристиками различных факторов, оказывающих влияние на ход изучаемого процесса; если некоторый фактор незначителен, то соответствующий параметр будет малым. В таких случаях естественно положить малый параметр равным нулю и получить более простую задачу, которая называется невозмущенной или вырожденной по отношению к исходной, возмущенной, задаче. При этом можно надеяться, что решение исходной задачи при достаточно малых значениях параметра будет мало отличаться от решения невозмущенной задачи. Если это действительно оказывается так, то соответствующая задача называется регулярно возмущенной.
Вместе с тем имеется немало важных задач, в которых близость малого параметра к нулю, вообще говоря, не обеспечивает равномерную близость решения исходной задачи к решению вырожденного уравнения. Такие задачи принято называть сингулярно возмущенными. К классу сингулярно возмущенных задач относятся дифференциальные уравнения, содержащие малый параметр в качестве множителя при старшей производной. При переходе к вырожденной задаче порядок такого уравнения понижается; поэтому решение вырожденного уравнения, вообще говоря, не может удовлетворить всем дополнительным условиям, заданным для исходного уравнения, и от некоторых из дополнительных условий приходится отказаться. В результате в окрестности той части границы

1.3.2 Построение нижнего решения
Возьмём нижнее решение задачи (1.2) в виде
V = v(x) — ер[Ад_(х,е) + zi(x,e)], U = ip{V ,х) — е[В(х) + z2(s,e)] (1.33)
Здесь функция д_(х,е) равна 1 в 5/2-окрестностях точек х — 0 и х = 1, равна г1-р на отрезке [5,1 —5] и монотонно изменяется от £1_р до 1 на отрезках [5, 5/2] и [1 — 5,1—5/2], причём д_ (х, е) S <С2[0,1] для каждого е > Ои |ст"(ж,е)| < const, где х € [0,1]; 5 — любое малое, но фиксированное положительное число. Функции Zi(x, е) и z2(x,e) имеют вид
Zi(x, е) = ехр(—кг х/ер) + ехр(—кг (1 — х)/ер), z2(х,е) = ехр(-к2х/е) + ехр(-/с2 (1 - х)/е).
Величины констант А > 0, ki > 0 и к2 > 0, а также вид функции В{х) из класса
<С2[0,1] будут указаны ниже.
Отметим тот факт, что в силу Условий 1.2 и 1.5 0, х 6 [0,1], так что согласно соотношениям (1.6) функции v(x) и й(х) = ip(v(x), х) и, как следствие, V (ж,е) и U (х,е) имеют в точке жо неотрицательный скачок производной, а это допустимо для нижнего решения (см. Замечание 1.1 в п. 1.1.3).
Перейдём к проверке операторных неравенств 1.1° из Определения 1.2 для
нижнего решения, учитывая Условие 1.5 квазимонотонности вектор-функции (g,f). Как и в Разделе 1.2, ниже мы не будем специально оговаривать исключение из отрезка [0,1], на котором проверяются неравенства, точки Хо, в которой, возможно, нарушается гладкость нижнего решения, а также проверку неравенств для предельных в этой точке (слева и справа) значений соответствующих выражений для операторов, так как эти предельные неравенства будут следовать из доказанных нами неравенств ввиду vi(x), v2(x) 6 С2[0,1]. Предварительно заметим, что
U"(x,s) — -(pv(V (х, е),х)ерz"(x,e) -ez'2{x,e) -I- 0(1)
= -е~р