Асимптотические методы в некоторых задачах математической физики, связанных с уравнениями типа sin-Гордона и геометрией псевдосферических поверхностей

• Автор: Маевский, Евгений Валерьевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 129 с.

1. Уравнение Бт-Гордона и псевдосферические поверхности
1.1 Уравнение Бт-Гордона
1.1.1 Задача Гурса для уравнения Бт-Гордона
1.1.2 Задача Коши для уравнения Бт-Гордона
1.1.3 Метод разделения переменных
1.1.4 Метод малого параметра
1.1.5 Автомодельные решения
1.1.6 Преобразование Бэклунда
1.1.7 Конечнозонные решения
1.2 Псевдосферические поверхности
1.2.1 Основные уравнения теории поверхностей
1.2.2 Асимптотические координаты
1.2.3 Линии кривизны. Поверхности Иоахимсталя
1.2.4 Геометрическое преобразование Бэклунда
1.2.5 Классические псевдосферические поверхности
2. Асимптотика решений уравнений второго порядка
щ 2.1 Асимптотика осциллирующих решений
2.1.1 Постановка задачи
2.1.2 Построение приближенного решения
2.1.3 Метод вариации постоянных
2.1.4 Метод последовательных приближений
2.1.5 Асимптотические разложения
2.1.6 Асимптотическая устойчивость в общем случае
2.1.7 Случай автономной правой части
2.1.8 Асимптотика решения и его производной
2.1.9 Осциллируемость решений
2.2 Асимптотика решений в окрестности особой точки
2.2.1 Постановка задачи
2.2.2 Построение приближенного решения
2.2.3 Метод вариации постоянных
2.2.4 Метод последовательных приближений
2.3 Приложение к автомодельному уравнению Бт-Гордона
2.3.1 Асимптотическое разложение на бесконечности
2.3.2 Асимптотическое разложение в нуле
4 3. Поверхность Амслера
3.1 Поверхность Амслера. Введение
3.1.1 Постановка задачи
3.1.2 Псевдосферическая поверхность, содержащая две прямолинейные образующие
3.1.3 Обзор используемых асимптотических методов
3.2 Асимптотические линии поверхности Амслера
3.2.1 Система уравнений Френе
3.2.2 Основной триедр в нуле
3.2.3 Основной триедр на бесконечности
3.2.4 Построение регулярной поверхности в окрестности прямолинейной образующей
3.3 Ребра поверхности Амслера
3.3.1 Система уравнений Френе
3.3.2 Основной триедр на бесконечности
3.3.3 Степенной ряд для основного триедра
3.3.4 Сводка асимптотических разложений для ребра
3.4 Радиус-вектор поверхности Амслера
3.4.1 Уравнение для радиус-вектора
3.4.2 Формулы Римана
3.4.3 Метод разделения переменных
3.4.4 Асимптотическое разложение решения
3.4.5 Построение поверхности в окрестности ребра
4. Двухсолитонные решения и их интерпретация
4.1 Двухсолитонные решения. Введение
4.1.1 Двухсолитонные решения
4.1.2 Двухсолитонные поверхности
4.1.3 Двухсолитонные поверхности Иоахимсталя
4.2 Классификация двухсолитонных поверхностей
4.2.1 Радиус-вектор ребра. Геодезическая кривизна и кручение
4.2.2 Анализ знаков кривизны и кручения
4.2.3 Иллюстрации
5. Приложение
5.1 Приложение к пункту 2.1
5.2 Приложение к пункту 2.1
5.3 Приложение к пункту 2.1
5.4 Приложение к пункту 2.3
5.5 Приложение к пункту 3.3
6. Заключение
Работа посвящена исследованию некоторых классических решений уравнения эт-Гордона и связанных с ними поверхностей постоянной отрицательной кривизны. Развитие данной тематики связано с фундаментальными исследованиями в геометрической школе
Н.В. Ефимова и Э.Г. Позняка. Было получено большое количество содержательных результатов по проблеме изометрических погружений метрик отрицательной кривизны в Е3: [14,15, 29, 47, 48], по вопросам, связанным с интерпретацией решений уравнения эш-Гордона как сетевого угла асимптотической сети на поверхности постоянной отрицательной кривизны: [28, 30, 31], а также по более общей проблеме построения метрик постоянной отрицательной кривизны, связанных с различными нелинейными уравнениями математической физики: [17, 32].
В диссертации исследовано автомодельное решение, зависящее от произведения переменных, и показано как можно приближенно построить соответствующую псевдосферическую поверхность Амсле-ра в окрестности отрезка ее ребра возврата. С этой цели получено и исследовано линейное уравнение гиперболического типа для радиус-вектора поверхности. Исследован и другие способы построения поверхности Амслера — по асимптотическим линиям в окрестности прямолинейной образующей. Исследованы и классифицированы поверхности, соответствующие двухсолитонным решениям уравнения эт-Гордона. Найдено точное выражение для их радиус-вектора. Доказана теорема о локальной однозначной определенности фрагмента псевдосферической поверхности по фрагменту ее ребра. Основные результаты диссертации отражены в опубликованных работах [20,21,22,23].
В геометрии уравнение вт-Гордона связано с существованием на поверхностях в Е3 специальных сетей, называемых чебышевскими. Эти сети характеризуются тем условием, что в каждом сетевом четырехугольнике противоположные стороны равны. Чебышевскую сеть образуют, например, нити куска ткани, натянутой на поверхность [45]. Пусть линии чебышевской сети взяты за координатные так, что координаты и и V являются их естественными параметрами (такие координаты будем называть чебышевскими) — в этом случае первая
§ 2.1 Асимптотика осциллирующих решений.

что и требовалось.
Таким образом, утверждение, сформулированное в пункте 2.1.3 на стр. 46, доказано. Алгоритм построения асимптотических разложений для Сі и С2 состоит в последовательных вычислениях по формулам (65).
2.1.5 Асимптотические разложения.
Здесь мы приведем асимптотические разложения для С(т), С2{т), х(т) и х(т). Начнем с анализа выражений (62), (63) для г = 1,2, которые необходимо интегрировать. Поскольку они представлены с точностью до 0{т~7/2), а интеграл от 0(т~7/2) дает 0(т~5/2), то окончательные выражения для (7, будут с точностью до 0(т~5/'2). Заметим, что слагаемые вида т “In"г ^j в Qi дают в выражения
для Ci тот же самый порядок малости т~а. С другой стороны, слагаемые вида т~а In” г дают в Ci слагаемые ~ T~a+Ï lnn+1 т. Итак, при вычислении cf} учитываем только слагаемые порядка г-1 ; на второй итерации выражения с т-3/2 в (62), (63) интегрируются до 0(т~2) с применением формулы (68), а в выражениях более высокого порядка малости интегрируются только слагаемые, не содержащие тригонометрических функций — все остальное равно 0(т~2). В итоге ограничиваемся четвертой итерацией чтобы захватить члены порядка r-5/2lnfcT, которые не захватываются на третьей. Это позволяет нам достигнуть максимально возможной точности 0(т-5//2).
Имеем следующие разложения для Ci

Здесь коэффициенты Ak и Bjk выражаются через в и Сх (см. приложение 5.3). Далее, получаем разложение решения и производной