Перенос пассивных величин в случайных средах

• Автор: Ламбурт, Виктор Григорьевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 97 с. : ил.

1 Перенос величин в космической турбулентности
1.1 Модели поля скорости
1.2 Поток с восстановлением
1.3 Интегральное представление решения уравнения переноса
1.4 Уравнение для средней концентрации
1.5 Приближенные уравнения для средней концентрации
1.5.1 Малое время восстановления
1.5.2 Поле скоростей с гауссовыми траекториями
1.5.3 Слабо неоднородное распределение примеси
1.6 Уравнение для среднего магнитного поля
1.7 Задача быстрого динамо
1.8 Обсуждение результатов главы
2 Распространение света во вселенной однородной лишь в среднем
2.1 Постановка задачи
2.2 Уравнение Якоби и случайная кривизна
2.3 Уравнение для среднего геодезического отклонения
2.4 Роль временных корреляций
2.5 Обсуждение результатов главы

3 Геодезические на многообразии со случайной кривизной
3.1 Основные понятия
3.2 Количественные характеристики случайных процессов
3.3 Показатель Ляпунова обновляющейся геодезической
3.4 Поведение геодезического отклонения
3.5 Среднее расстояние между сопряженными точками
3.5.1 Асимптотическое приближение
3.5.2 Вспомогательные процессы
3.5.3 Верхняя оценка среднего расстояния
3.6 Обсуждение результатов главы
Положения выносимые на защиту
Список литературы
А Иллюстрации
В Модельный пример
С Вывод уравнения для геодезического отклонения
И Необходимые сведения из теории Ферстенберга

Актуальность исследований'
Перенос пассивных величин в движущийся среде — явление, часто встречающееся в природе. Пассивность переносимых величин означает, что их влияние на характеристики самого потока пренебрежимо мало. В этом смысле, хорошим примером подобного процесса является распространение ветром загрязнения, выбрасываемого в атмосферу через трубы заводов. Перенос температуры также можно рассматривать, как перенос пассивной величины, если влияние конвекции на распределение скоростей в потоке не велико. Обе рассмотренные величины скалярные, векторной величиной, часто встречающейся в движущейся среде, является магнитное поле.
Систематическое изучение процессов переноса скалярных величин началось еще в начале 20 века. В 1915 г. специалист в области гидромеханики Дж. И. Тейлор, исследуя процессы переноса в атмосфере, получил ряд результатов, сформировавших основы теории длинны перемешивания [Taylor 1915].
В 1966 г. Штенбек, Краузе и Рэдлер обнаружили альфа-эффект, позволяющий объяснить рост крупномасштабного магнитного поля в турбулентном потоке. Начиная с этой работы появляется значительное число публикаций, посвященных решению различных задач магнитной гидродинамики в терминах средних полей. При этом понятие ’’среднего поля” остается достаточно размытым. Так, согласно гипотезе Тейлора, в ряде случаев осреднение по пространству может быть заменено осреднением по времени.

Переходя к пределу при 6 —> 0 и возвращаясь к уравнению второго порядка, получаем окончательно:
У" + У {К - /С/6) = 0.
(2.10)
Анализируя вывод уравнения (2.10), можно понять, какие условия нужно наложить на 6 для того, чтобы считать его малой величиной. Очевидно, что 5 должно быть много меньше радиусов кривизн, соответствующих К и /С/6. В самом деле, если 5 оказывается порядка радиуса кривизны, то геодезическое отклонение также оказывается порядка радиуса кривизны и наши методы, основанные на разложении в ряды, перестают работать. Кроме того, 6 должно быть существенно меньшим, чем расстояние между точкой наблюдения и той точкой, в которой мы интересуемся поведением поля геодезического отклонения.
Рассматривая модель, в которой кривизна теряет память в случайных точках (модель с восстановлением), достаточно осреднить уравнение (2.10) по пуассоновскому распределению 5 (о моделях с восстановлением см. [Ламбурт и др. 2000а]). В результате получаем:
Другими словами, при переходе от моделей с обновлением к моделям с восстановлением добавка к кривизне меняется вдвое. Точно такой же эффект наблюдался при переходе от потока с обновлением к потоку с восстановлением в главе 1.
2.4 Роль временных корреляций
Выводы предыдущего раздела сохраняются и без предположения о том, что временные корреляции являются короткими, т.е. без предположения о малости <5. В этом случае мы можем изучить поведение геодезического отклонения только в дискретные моменты времени, так что вместо дифУ" + У (к - /С/3) = о.
(2.11)