Методы геометрии дифференциальных уравнений в анализе интегрируемых моделей теории поля

• Автор: Киселёв, Артемий Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 137 с.

Содержание
Введение

Глава I. Законы сохранения и нётеровы симметрии уравнений Тоды

1. Об уравнении Тоды: обзор литературы

2. Нётеровы симметрии уравнений Тоды

3. Операторы рекурсии для уравнений Тоды

Глава II. Примеры вычислений

4. Бездисперсионное уравнение Тоды

5. Нелинейное уравнение Шрёдингера

Глава III. Иерархии Кортевега-де Фриза и уравнения Тоды

6. Аналоги модифицированного уравнения Кортевега-де

Фриза
7. О гамильтоновом формализме для уравнений Эйлера
8. О некоторых свойствах иерархий Кортевега-де Фриза
Глава IV. Преобразования Беклунда и представления нулевой
кривизны
9. Преобразования Беклунда и их деформации
10. Об интегрировании преобразований Беклунда
11. Представления нулевой кривизны
Глава V. Алгебры Шлезингера-Сташефа и определители
Вронского
12. Алгебраическая теория
13. Ассоциативные алгебры Шлезингера-Сташефа
14. Построение вронскианов функций многих переменных:
п ^ 1
Выводы
Список литературы

Введение
Уравнения Тоды ([41]) и, в частности, уравнения Тоды, ассоциированные с полупростыми алгебрами Ли ([34]), играют существенную роль в построении и анализе моделей современной конформной теории поля. Известны многочисленные приложения уравнений Тоды в теории гравитации ([46, 52]) и теории Янга-Миллса ([85]), в дифференциальной геометрии ([67, 75]), задачах классификации нелинейных уравнений в частных производных ([15]), установлена их связь с интегрируемыми динамическими системами ([11]), фробениусовыми многообразиями и структурами ассоциативных алгебр ([57]). В перечисленных выше областях математической физики непосредственно к уравнениям Тоды сводятся задачи изучения таких систем, как ан-тиавтодуальные вакуумные уравнения Эйнштейна, уравнения Янга-Миллса, структурные уравнения комплексных кривых в кэлеровых многообразиях, динамика инвариантов Лапласа дифференциальных уравнений, уравнение Кортевега-де Фриза, уравнение VDVV (Vit-1еп-Бцкгаа1-Н. УегНпйе-Е. УегИпйе) и т.д.
Алгебраический подход к изучению гиперболических уравнений Тоды иху = ехр(К«) был развит в работах А, Н. Лезнова и М. В. Савельева ([34]), В. Г. Дринфельда и В. В. Соколова ([11]), Б. А. Дубровина ([57]) и др., в которых уравнения Тоды интерпретированы как уравнения плоских связностей на полупростых комплексных алгебрах Ли (или их обобщениях) с матрицей Картана К. Известно, что такие уравнения, называемые уравнениями, ассоциированными с алгебрами Ли, точно интегрируемы ([34]); в фундаментальной работе [11] им были поставлены в соответствие интегрируемые иерархии Дринфельда-Соколова — аналоги бигамильтоновых уравнений Кортевега-де Фриза. Между тем, алгебраический подход не в полной мере учитывает геометрические свойства самих уравнений Тоды, например, такие как структура алгебры Ли нётеровых симметрий, наличие у этих уравнений операторов рекурсии и взаимосвязь допускаемых уравнениями Тоды законов сохранения с гамильтоновыми структурами для уравнений Кортевега-де Фриза. В частности, до настоящего времени не

было известно, что перечисленные свойства уравнений Тоды сохраняются при переходе к значительно более общему случаю уравнений иху = ехр(Ки), ассоциированных с невырожденной симметризуемой матрицей К — не обязательно матрицей Картана.
Мощным средством изучения алгебро-геометрических структур служат гомологические методы, развитые в работах И. С. Красильщика, В. В. Лычагина, А. М. Виноградова ([4, 82, 83, 108]) и их научных школ. В связи со значительными успехами методов геометрии дифференциальных уравнений было естественным применить их к исследованию уравнений Тоды.
Целью диссертационной работы является анализ геометрических свойств уравнений Тоды, построение на их основе новых интегрируемых систем и установление взаимосвязи между уравнениями Тоды и иными уравнениями математической физики.
В диссертации рассмотрены алгебро-геометрические свойства гиперболических уравнений Тоды иху = ехр(Ки), ассоциированных с невырожденной симметризуемой матрицей К, построена иерархия аналогов потенциального модифицированного уравнения Кортевега-де Фриза щ = иххх + их и установлена её связь с иерархией уравнения Кортевега-де Фриза % = Тххх + ТТХ, получено описание групповых структур для бездисперсионных (2 + 1)-мерных уравнений Тоды иху = ехр(—и„) и изучены геометрические свойства многокомпонентных систем Ф* = гФхх + г/(|Ф|) Ф типа нелинейного уравнения Шрёдингера (мультисолитонных комплексов), также связанных с уравнениями Тоды. Использованный метод исследований состоит в систематическом применении методов геометрии дифференциальных уравнений при изучении перечисленных выше уравнений и структур на них.
Диссертационная работа состоит из введения, 5 глав, содержащих 14 разделов, выводов и списка литературы из 112 наименований. Формулируемые в работе леммы, теоремы, утверждения и следствия имеют сплошную нумерацию от 1 до 70.
Кратко опишем содержание диссертационной работы.

Ли (и алгебрами Каца-Муди, см. [72]) можно проследить по работам [85, 33, 35, 34, 50, 51, 65, 66, 67], см. также [11, 38].
Построение обобщений уравнения (38) на случай г ^ 1 зависимых переменных и1, ..., иг мы рассмотрим с нестандартной точки зрения, используя инварианты Лапласа ([15]). Прежде всего, в целях упрощения вычислений, сделаем такую комплексную замену переменных, чтобы уравнение Лиувилля приняло вид иху = схр(и). Начиная с настоящего момента и до конца работы мы будем изучать именно гиперболические уравнения и их симметрии; разница между эллиптическими и гиперболическими уравнениями исчезает в комплексном случае, однако, поскольку при изучении свойств симметрии нам не потребуются свойства комплексной структуры, мы будем предполагать все уравнения вещественными — так же, как на с. 5.
Следуя [15], вычислим инварианты Лапласа Но и Н гиперболического уравнения иху = /(ж, у, и, иХ1 иу) — в нашем случае / = ехр(и):
Н0 = -Ву (д//диу) + д//дихд//диу + д//ди = ехр(и),
Н =£ -Вх (д//дих) + д//дих дЦдиу + д//ди = ехр(и).
Определение остальных инвариантов Лапласа следует из уравнений
АлДЬ Я,) = -Я,.! + 2Я,- - Я,+1, ieZ. (44)
Оказывается, что для уравнения Лиувилля последовательность Я, обрывается сразу: Я; = 0, г ф 0, 1. Сделаем подстановку Яг = ехр(Я'), —q < г < р, и ограничим уравнение (44) на графики струй сечений Ы расслоения КГ хК2 -» Ж2, так что полные производные Д превратятся в дифференцирования д/дх1. В результате мы получим систему
Ыху — 2 ехр(Я°) — ехр(Д), 1Лу — — ехр(Д’) + 2 ехр^1),
а в общем случае — систему уравнений Ы1ху = ехР(Я2),
причем структура невырожденной матрицы К = || Д || размера (р+ д — 1) X (р 4- д — 1) такова:
ка - 2, 1 = кц-1 = -1, к^ = 0 при |г - у > 1. (45)