Асимптотические методы спектрального анализа эрмитовых матриц Якоби

• Автор: Сильва Перейра Луис Октавио
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 85 с.

Оглавление
Введение

Глава 1. Матрицы Якоби и их основные свойства

1.1. Основные понятия

1.2. Дискретный оператор Шрсдингера и дискретный оператор струны

1.3. Теория субординации Гильберт-Пирсона

1.3.1. Основные положения

1.3.2. Трансфер-матрицы

1.3.3. Обобщенная лемма Бенке-Штольца

1.4. Некоторые подходы к спектральному анализу матриц Якоби

1.4.1. Квазиклассический метод

1.4.2. Гладкий метод Штольца
Глава 2. Равномерная и гладкая теоремы типа Левинсона для дискретных систем
2.1. Равномерная теорема типа Левинсона дня дискретных систем
2.2. Гладкость решений параметрических линейных систем
Глава 3. Матрицы Якоби с быстрорастущими весами
3.1. Дискретные операторы струны с быстрорастущими степенными весами
3.1.1. Самосопряженность для класса Костюченко-Мирзоева .
3.1.2. Асимптотическое поведение обобщенных собственных векторов
3.1.3. Спектральный анализ операторов класса Костюченко-Мирзоева
Глава 4. Асимптотика собственных значений матриц Якоби при наличии периодических модуляций матричных элементов
4.1. Метод последовательной диагонализации
4.2. Модель Джейнса-Каммингса

Оглавление
4.3. Асимптотика собственных значений в случае отсутствия модуляции
4.4. Асимптотика собственных значений в случае периодической модуляции
Литература
Введение
В этой работе рассматриваются бесконечные эрмитовы трех-диагональные матрицы, матрицы Якоби, вида
bl 0 0 ■Л
bl (12 Ь2
0 &2 Яз Ьз
V : )
где Ъ = С R+ и q = С М. Эта матрица может быть рассмот-
рена как матричное представление некоторого оператора J в J2(N). Ясно, что для последовательностей и, v € Z/in(N), т.е. имеющих конечное число ненулевых элементов, имеет место следующее соотношение
(Ju,v)p - (U,Jv)p
Следовательно, оператор 3 с областью определения lfin(N) — симметричный оператор. Будучи симметричным, оператор J допускает замыкание. Главная цель наших исследований — изучение спектральных свойств замкнутого оператора J := J с помощью различных асимптотических методов. Ясно, что индексы дефекта оператора J одинаковы, так как матрица (1) вещественная. Более того, нетрудно показать, что единственно возможными значениями индексов дефекта являются (0,0) и (1,1).
Когда рассматривают матрицы Якоби, изучают также трех-членные рекуррентные соотношения, теорию ортогональных1 полиномов и аналитическую теорию непрерывных дробей. Значительное количество результатов во всех этих областях было накоплено на протяжении длинной истории математических исследований. Изучение трех-членных рекуррентных соотношений восходит к работам Чебышева и Маркова. Стилтьес использовал затем рекуррентные соотношения и их связь с непрерывными дробями, когда исследовал так называемую проблему моментов [1]. Но несмотря на давнее происхождение и огромное количество накопленных результатов, вопрос о спектральных свойствах матриц Якоби, в зависимости от поведения последовательностей 6 = и q — {gn}£Ll5 изучен далеко не полностью.
ортогональных, по отношению к весовой функции.

2.1 Равномерная теорема типа Левинсона для дискретных систем

I (^о,А) , г
(Л) = < т2ц(м>л)
I 0, в противном случае.
Следовательно, принимая во внимание, что в этом случае т < п, мы имеем, используя а
1,(0 | | 7п>№, А) _
' 7®+1 (Ло, А)'
= ПИ'’(А)| / П |^г)(А)| =
г=/Уо / г=Л/о
- Ь(г) 1/(г) !/{0 I ~
— Гт+^т+З • • • ип-1 —
I w w
- г/к) i/fc> i,W І Гт+1^т+
1 m+! m+2 ' ' ‘ n~1' I..(*) .,(*) I -
ГтІГт+г • ■ ■ ^n-ll
,<0 .„(0 . ^(0.
IEJ^ ІІ'ГіьЙІх.Ш = sup {sup{||(T|;fp)n(A)|[Crf I }} = п>№ лез І7І (Л»,А)|

= sup{sup{ , t- || Y ^<1)'J,n(A)1'+i(A)-Rm(A)(3m-
">№ лез {7n (iV0) A)j
f г M
< sup {sup{ —jrr
n»No лез Ьйь,(ЛЬ,Л)|
< sup{sup{ M Y ||-fin, (A)||}} <
»>№ ЛЄЗ inf^K 'J rat^ №4^0. A)|
< pMUumo)
Остается доказать свойство 3. Мы должны показать, что если <р є