Быстроменяющиеся асимптотические решения некоторых нелинейных эволюционных уравнений в частных производных

• Автор: Миненков, Дмитрий Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2013
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 105 с. : ил.

Оглавление
Введение
Общая характеристика работы
Краткое содержание работы
1 Фазовый сдвиг в анзаце Кузмака-Уизема
1.1 Сравнение различных методов осреднения, на примере ангармонического осциллятора с медленно зависящим от времени потенциалом и некопссрвативным возмущением
1.1.1 Постановка задачи и формулировка результатов .
1.1.2 Возмущение начальных данных и потенциала,
“неустойчивость” асимптотпк
1.1.3 Доказательство теоремы
1.1.4 Пример
1.1.5 Метод Кузмака-Уизема
1.2 Фазовый сдвиг в анзаце Кузмака-Уизема для нелинейного уравнения Клейна-Гордона и уравнения Кортевега-де-Фриза
1.2.1 Нелинейное уравнение Клейна-Гордона
1.2.2 Однофазовое решение уравнения Кортевега-де-
Фриза
2 Системы уравнений мелкой воды

2.1 Замены, приводящие одномерные системы уравнений мелкой воды к волновому уравнению со скоростью звука
2.1.1 Системы нелинейных уравнений мелкой воды
2.1.2 Линеаризация систем уравнений мелкой воды, основанная на точечных преобразованиях
2.1.3 Преобразования Кариера-Грипспена и близкие
исследования
2.1.4 Точные решения линейной системы
2.1.5 Нули Якобианов и “дополнительные” решения .
2.2 Асимптотические решения одномерной нелинейной системы уравнений мелкой воды с вырождающейся скоростью общего вида
2.2.1 Постановка задачи
2.2.2 Замена для выравнивания г2(.г) (дна)
2.2.3 Линеаризация, основанная на преобразовании
Кариера-Гринспена
2.2.4 Построение асимптотики с помощью метода теории возмущений
2.2.5 Пример, иллюстрирующий отражение волны от
берега в нелинейном случае
Список литературы

Введение
ОБЩАЯ ХАРАКТЕРИСТИКА РАБОТЫ
Актуальность темы диссертационного исследования. Асимптотические методы широко используются при решении различных задач. Потребность в них возникает, во-первых, когда точное решение задачи неизвестно, и во-вторых, когда с известным точным решением по тем или иным причинам трудно работать, и возникает потребность в простых для приложений асимптотических формулах.
С появлением и развитием таких программных пакетов, как МаШетпаБса, МаШБаЬ и им подобные, возникла возможность компьютерной реализации быстрых аналитико-численных алгоритмов для моделирования волновых процессов, что позволяет анализировать зависимость решения от параметров в режиме “он-лайн”. Однако, существующие формулы для асимптотических решений не всегда подходят для подобных целей, и есть потребность в модификации существующих и получении новых формул для асимптотических решений.
Целью работы является построение однофазных асимптотических решений в форме анзаца Кузмака-Уизема для задачи Коши для ангармонического осциллятора, нелинейного уравнения Клейна-Гордона и уравнения Кортевега-де-Фриза, причем окончательный ответ ищется в виде, который является равномерным относительно перехода от “сильно-нелинейного” случая к “слабо-нслинсйному” (не зависит от величины начальных данных). Кроме того строятся асимптотические решения для одномерной нелинейной системы мелкой воды с вырождающейся скоростью общего вида вблизи точки вырождения (соответ-

брать в качестве начальных условий для второго уравнения из (1.12) А°
п гР)
или же /и + £ п(7» о) • во втором случае фазовый сдвиг учитывается автоматически.
1.1.2 Возмущение начальных данных и потенциала, “неустойчивость” асимптотик Общие формулы
Рассмотрим ситуацию, когда начальные данные, потенциал и неконсервативный член в (1.1) могут быть представлены как возмущение некоторых первичных данных и функций. Именно, рассмотрим малый параметр р, который может зависеть от е: ,г|г=о — х° + рзф. р|тщ) = р° + рр, V = V + рУ. /у = д + //.щ. Здесь и далее мы будем обозначать невозмущенные величины буквами с галочкой (подчеркнем, что здесь обозначения отличаются от предыдущего пункта). Если р зависит от е, то можно упростить окончательные уравнения для 1 и о. Видно, что наличие регулярной зависимости начальных данных, потенциала и нсконсервативного члена от дополнительного параметра р не влияет на ход доказательства Утверждения 1. Таким образом, соответствующие функции зависят от р регулярным образом и могу| быть записаны в виде: X = Х+рХ1+0{р2).1 = 1+р1[+0{р1).Ф - Фч-//Ф1фО(/г).П -Й + рП1 + 0(р2), С — (5 + рС1 + О(уг). Е — Е + рЕ1 -|- О(уг) и т.д. Для главного члена асимптотического решения возмущенной задачи (1.3) мы получаем следующую формулу:
Хо = Х(-Р^-Л(Ер),Ер) = 1.Щл) + 0(р + 1—).

(1.21)
Похожая формула справедлива для момента р(). Отсюда следует, что если р2 «е,и мы пренебрегаем поправками 0(р) + 0(г) + 0('-ф), то из-за множителя р/е влияние возмущений на асимптотики на временах £ ~ 1 (или т ~ 1/е) определяется поправкой к фазе (фазовым сдвигом) Ф1.