Факторизация R-матрицы, Q-оператор и разделение переменных

• Автор: Деркачев, Сергей Эдуардович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 155 с.

Содержание
1 Введение

1.1 11-матрица и уравнение Янга-Бакстера

1.2 Алгебраический анзатц Бете и уравнение Бакстера

1.3 Локальный гамильтониан

1.4 О-оператор

1.4.1 Общая 11-матрица

1.4.2 Уравнения Бакстера

1.4.3 Формула для действия на полиномы

2 Решение уравнения Янга-Бакстера в случае группы симметрии 8Ц2, С).

2.1 Группа БЬ(2, С)

2.1.1 Представления комплексной группы 8Ь(2, <С)
2.1.2 Неприводимые представления группы 8В(2, <С) ■■ ■
2.1.3 Сплетающие операторы
2.1.4 Генераторы алгебр Ли §1(2, С) и 51(2, С)
2.2 8Ь(2, С)-инвариантная 11-матрица 29 ■
2.2.1 Уравнение Янга-Бакстера
2.2.2 Группа перестановок и соотношения для операторов БДи)
2.2.3 Операторы Б,! и ГО
2.3 Модули Верма и конечно-мерные представления ЭЬ(2, С)
2.3.1 Модули Верма
2.3.2 Конечно-мерные представления
3 Решение уравнения Янга-Бакстера в случае группы симметрии ЭЦп, С)
3.1 Группа БЦп, С)
3.1.1 Неприводимые представления группы ЭЦп, С)
3.1.2 Генераторы алгебры Ли gl(rг, С) и генераторы правых сдвигов
3.1.3 Сплетающие операторы
3.2 8Ь(п, (С)-инвариантная Р1-матрица
3.2.1 Операторы
3.2.2 Операторы Щ
3.3 Модули Верма и конечно-мерные представления 8Ь(п, С)
3.3.1 Модули Верма
3.3.2 Действие оператора ГЦ на производящую функцию
4 Трансфер матрицы и О-операторы в случае группы 8Ь(2, С)
4.1 Локальные объекты: Ъ-операторы и Л-операторы
4.1.1 Матрицы В (и) и Ь(м)
4.1.2 8Ь(2, С)-инвариантная П-матрица
4.1.3 Операторы ^ ий
4.2 Глобальные объекты: трансфер-матрицы и 0-операторы
4.2.1 Факторизация трансфер-матрицы
4.2.2 Уравнения Бакстера
4.3 Разделение переменных
4.3.1 Собственные функции оператора В(и)

4.3.2 Действие операторов А(и) и Б(и) на собственные функции и(г, х)
4.4 Модули Верма
4.4.1 Локальные объекты: квантовый Ь-оператор и общий 11-оператор
4.4.2 Глобальные объекты: трансфер матрицы и (^-операторы
4.4.3 Уравнение Бакстера и детерминантное представление
4.4.4 Примеры ограничений Б-оператора на конечномерные подпространства
4.4.5 Явные формулы для действия на полиномы
5 Трансфер матрицы и (^-операторы в случае группы ЗЬ(п, С) Ш
5.1 Локальные объекты: Ь-операторы и 11-операторы
5.2 Глобальные объекты: трансфер матрицы и (^-операторы
5.2.1 Элементарные трансфер матрицы
5.2.2 Факторизация общей трансфер матрицы
5.2.3 Уравнение Бакстера
5.3 Модули Верма
5.3.1 БІ(п)-модули
5.3.2 Трансфер матрицы
5.3.3 Трансфер матрицы высших уровней
5.3.4 Резольвента Бернштейна-Гельфанда-Гельфанда
5.3.5 Уравнения Бакстера и анзатц Бете
6 Заключение
7 Благодарности

1 Введение
Современным подходом к теории квантовых интегрируемых систем является квантовый метод обратной задачи [1-6], разработанный в лаборатории математических проблем физики ПОМИ под руководством Л.Д.Фаддеева. Метод был сформулирован в работе Л.Д.Фадцеева, Е.К.Склянииа и Л.А.Тахтаджяна и получил дальнейшее развитие в работах Л.Д.Фаддеева,
П.П.Кулиша, Н Ю.Решетихина, Е.К.Склянииа, М.А.Семенова-Тян-Шанского, Ф.А.Смирнова, Л.А.Тахтаджяна, В.О.Тарасова и других участников Санкт-Петербургской школы математической физики. Квантовый метод обратной задачи связывает с каждым решением уравнения Янга-Бакстера [7-11] интегрируемую модель и обеспечивает метод построения собственных состояний гамильтониана модели при помощи алгебраического анзатца Бете [1,2,6]. Спектр гамильтониана находится из решения системы уравнений Бете. Проиллюстрируем основные шаги на примере интегрируемой модели, которая называется XXX спиновой цепочкой.
1.1 R-матрица и уравнение Янга-Бакстера
Без особого преувеличения можно сказать, что основным объектом является оператор К(м), а основным уравнением - уравнение Янга-Бакстера [2,7-12]. Для оператора М(и) исторически сложилось название R-матрица. М(ы) - з1(2)-инвариантное решение уравнения Янга-Бакстера:
К12(и)Е1з(ы + «)Ж2з(^) = K23(w)®13(m + w)Mi2(w). (1-1)
Оператор Ку(м) зависит от комплексного параметра и, называемого спектральным параметром, и является функцией двух наборов операторов 5, и S-, - генераторов алгебры Ли sl(2), действующих в векторных пространствах V, и V,. з1(2)-инвариантность означает, что оператор (и) коммутирует с суммой генераторов 5, + S
(^St + Sj^j ■ Му (и) = Му (и) ■ ^St + SjJ .
Выбирая различные представления в пространствах V, и V,, получаем следующие R-матрицы в порядке возрастания сложности.
• В самом простом случае двумерных представлений спина £ = | в пространствах V, и У] генераторы S выражаются через матрицы Паули:
о_° _( 0 1 _( 0 -г _( I 0
2 ’ ai [l о) ’ 172 ( г 0 ) ’ аз -1 )
В этом случае R-матрица даётся выражением
Му («) = и + - + -а% ® а3 = и + Рч
и с точностью до аддитивной добавки спектрального параметра совпадает с оператором перестановки Рч : Рч х ® у — у х , где х G Vz и у е V3. Оператор перестановки можно "материализовать" в виде квадратной четырехмерной матрицы. Для

Рис. 4: Графическое доказательство соотношения Янга-Бакстера при помощи соотношения звезда-треугольник.
Перестановки п и г2 имеют простой смысл:
пи = {и1,у2,у1,и2) ; г2и = {У!,и2,и1,у2),
т.е. п переставляет друг с другом параметры щ и щ, а г2 переставляет у2 с и2. Перестановка в пары п, г>2 с паРОЙ щ,и2 производится в этом случае в два этапа: сначала переставляется «1 с «1, а потом и2 с и2 или в обратном порядке. Между образующими существуют соотношения [68]
31 = в2 = 53 = -Ч > э183 = 5з5х I = 5251в2 ; 525352 = 535253.
которые позволяют преобразовывать друг в друга разные разложения одной и той же перестановки. В нашем примере используются соотношения Й2 = 1 И в1вз = вэй!
Я = 52315352 = 525132 ' 525352 = Г1-Т2 = 525з ' 5^2 = 525г • 5352 = 525з52 ~ 525152 = Г2 ■ П (2.57)
Операторы Эх, Яг, З3 при действии на произведение матриц 1ч(иг, и2)Ь2(г>1, г?2) совершают те же перестановки параметров в наборе (у, у2, щ, и2), что и образующие 51,52,53. У нас есть соотвествие
5; -> в^и) ; -Н> 3,'(5:)'и)8^(и), (2.58)
и если теперь доказать, что для операторов Б; (и) выполнены соответствующие соотношения
ер?* = 1 ->■ Э^и^и) = 1 ; = 5з51 Эх(53и)33(и) = Эз^и^^и), (2.59)
то из тождества для образующих в* будет следовать аналогичное тождество для операторов 3*,(и). Например, операторы, отвечающие перестановкам п и г2:
П ->• И,1(и) = Э2(з152и)31 (52и)Б2(и) ; г2 -»■ Б2(и) = 32(5з52и)33(52и)32(и), (2.60)
коммутируют
ГГ2 — Г2п -*• Кг(г2и)К2(и) = П2(пи)11г(и) (2.61)