Дискретная BF-теория

• Автор: Мнёв, Павел Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 215 с.

Основные обозначения

1. Введение

1.1. Основные результаты

1.2. План работы

1.3. Благодарности

2. Основные понятия формализма Баталина-Вилковыского

2.1. Алгебры Герштенхабера и алгебры Баталина-Вилковыского

2.2. й-градуированные многообразия

2.3. Р-многообразия

2.4. 5Р-многообразия

2.5. Интегралы по лагранжевым подмногообразиям

2.6. Мастер-уравнение
2.6.1. Калибровочные преобразования в БВ-формализме
3. Фиксация калибровки
3.1. Фиксация калибровки: метод Фаддесва-Понова
3.2. Фиксация калибровки: метод БРСТ
3.3. Фиксация калибровки: метод Баталина-Вилковыского
3.4. Топологическая РР-теория
4. Абстрактная РР-теория и индуцирование эффективного действия для неё
4.1. Абстрактная РР-теория
4.2. Эффективное БВ-действие: общая идея
4.3. Эффективное действие для абстрактной РР-теории
4.4. Эффективное действие абстрактной РР-теории, как производящая функция
для алгебраической структуры на подкомплексе
4.5. РРоо-теория
4.5.1. Эквивалентность дР^-алгебр
4.5.2. Интерпретация эффективного действия через Р^-морфизм и кручение
5. Эффективная РР’-теория на симплициальном комплексе
5.1. Формы Уитни
5.2. Оператор цепной гомотопии Дюпона
5.3. Симплициальное РР-действие
5.4. Конструкция склейки для дРоо-алгебр
5.4.1. Конструкция наложения граничного условия
5.4.2. Согласованность операций склеивания и индуцирования

5.5. Симшшциальное PF-действие на отрезке
5.5.1. Явная проверка мастер-уравнения для Рд1
5.5.2. Индуцированная gPoo-структура на ^‘(А1, д)
5.5.3. Примеры конструкций из раздела 5.4: склеивание двух отрезков по
граничной точке, склеивание отрезка в окружность, отрывание граничной точки
5.6. Пертурбативные результаты для симплексов размерности D > 2
5.6.1. Явное вычисление супер-следа Сдг,(*(*»)) па 2-симплексе в координатном
представлении
6. Эффективная BF-теория на кубическом комплексе
6.1. Тензорное произведение данных индуцирования
6.2. Данные индуцирования для кубического комплекса, клеточное FF-действие
на кубическом комплексе, клеточная локальность
6.3. Факторизация фейнмановских диаграмм, пертурбативный результат для
Л-куба
6.4. Примеры точно вычислимого клеточного FF-действия: тор, цилиндр,
бутылка Клейна
6.4.1. Тор Т2 в симметричной калибровке
6.4.2. Тор TD в асимметричной калибровке
6.4.3. Каноническое преобразование, связывающее результаты для Sj2 в
симметричной и асимметричной калибровках
6.4.4. Цилиндр I х «S1, толстый тор I х Т°
6.4.5. Бутылка Клейна
7. Эффективная FF-теория на когомологиях де Рама многообразия
7.1. Категория ретрактов
7.2. Специальные свойства эффективного jSF-действия на когомологиях
7.2.1. Циклическая симметрия фейнмановских деревьев для S^,щ ^ для
индуцирования Ходжа
7.2.2. Оценки на допустимые степени когомологий в фейнмановских диаграммах
для 5я.(м,в)
7.2.3. Эффективное действие на когомологиях произведения многообразий
7.3. Примеры
7.3.1. Окружность, тор, сфера
7.3.2. Бутылка Клейна
Список литературы
Основные обозначения.
• М, М, К., Т и т.д. — Z-гpaдyиpoвaнныe многообразия.
• Нш(Л4) — алгебра функций на М
• Ук — сдвиг градуировки 2-градуированного векторного пространства. При этом градуировка функций на V сдвигается на +к (соответственно, градуировка самих векторов V — на — к).
• П*(Лт) — алгебра дифференциальных форм на Л4.
• 5*, Л* — симметрическая и внешняя алгебра.
• е или gh — грассманова степень (духовое число).
• Т[1]М, Т*[—1]Л4 — касательное и кокасательное расслоение со сдвинутой градуировкой слоя.
• <•,•> — каноническое спаривание между й-градуированным векторным пространством V и двойственным V*. Обычно предполагается, что первый аргумент — из V*, второй — из V.
• из — нечётная симплектическая форма (только в разделе 2; в дальнейшем обозначение из закрепляется за супер-связностью).
• у, р — мера на Z-гpaдyиpoвaннoм многообразии и её плотность.
• (га) — общая система координат.
• (агг, ) — система координат Дарбу.
• (Фа,ф£) (начиная с 3.3) система координат Дарбу, связанная с “физическим” лагранжевым подмногообразием (БРСТ-полей).
• {•,•} — анти-скобка.
• Д — БВ-лапласиан.
• £ — лагранжево подмногообразие.
• Ф — фиксирующий калибровку фермион.
• Н — инфинитезимальный параметр (постоянная Планка).
• Бс1, Б — классическое действие и БВ-действие, Бк — коэффициент при Нк в Б (“А>петлевая часть 5”).
• из, р — супер-поля В ^-теории (начиная с 3.4).
• [•, •] — коммутатор, всегда понимаемый в супер-смысле.
• в(х) — функция Хэвисайда: в{х) = 1 при х > 0 и в(х) = 0 при х < 0.
• С”! = т! (п-тУ — биномиальный коэффициент.
• д алгебра Ли калибровочной группы С.
• Е клеточный комплекс (обычно, триангуляция многообразия или кубическое клеточное разбиение многообразия), С"(Е) — комплекс клеточных коцепей на Е.
• тождество Пуанкаре:

(79)
• тождество Лейбница:
Ф,У = [^. У + (-1 )^[х,йу
(80)
• тождество Якоби:
(—1)1*1 г[х, [у, г]] + сусі.регт
(81)
где х, у, г € V и введено обозначение [ж | = с^(а;). Дополнительно потребуем свойство унимодулярности для V, т.е. чтобы матрицы присоединённого представления были бес-следовы (в смысле супер-следа):
для любого а: € V, где ЭПу — супер-след по V.
Определим действие абстрактной ВР-теории, связанной с дифференциальной градуированной алгеброй (У,с1, [,]) как
5 = < р, дш + — [ш, ш >
где (І*■ =< ег,де^ > и /Д =< ег,[еі,еь > — структурные константы дифференциала и скобки, соответственно. Таким образом, Я & Рип(Я') предъявлен как некоторый кубический полином от координат (шг,Рі) на Т, причём его коэффициентами являются структурные константы дифференциала и скобки. Поэтому 5 можно назавать производящей функцией для операций ОСЬА на V. Далее, из (76,77) и (71,72) немедленно вытекает, что все мономы в (83), коэффициенты при которых отличны от нуля, имеют духовое число 0, и поэтому gh(5) = 0.
Утверждение 1. Действие абстрактной ВР -теории Я =< р,<1и> + > удовлетворяет квантовому мастер-уравнению, т.е. |{5, 5} + йД5 = 0.
Доказательство. Так как Я = 5° не зависит от Й, квантовое мастер-уравнение эквивалентно системе
віту [ж, •]
(82)
(83)
{5,5}
(84)

(85)