Экспоненциально малое расщепление сепаратрис в квадратичных сохраняющих площадь отображениях плоскости

• Автор: Чернов, Вадим Леонидович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 69 с.

Введение

Обзор литературы

§1. Основные определения

§2. Формальная сепаратриса

§3. Первая теорема об аппроксимации

§4. «Чисто-квадратичное» отображение

§5. Вторая теорема об аппроксимации

§6. Сравнение устойчивого и неустойчивого многообразий

§7. Аналитический интеграл

§8. Асимптотическая формула для гомоклинического инварианта

Библиография

Введение
Настоящая работа посвящена исследованию экспоненциально малого расщепления сепаратрис. В ней рассматривается квадратичное отображение плоскости, сохраняющее площадь. Исследуются итерации точек плоскости под действием этого отображения, как вперед, так и назад. Например, пусть имеются отображение F: R2 —у R2 и точка плоскости (х, у) £ М2 . Тогда Fn(x,y) — n-ая итерация. Совокупность всех таких точек при гг € Z называется орбитой точки (х, у). Именно, исследованию орбит точек плоскости и посвящается данная работа. Как известно, изучение консервативной динамической системы с двумя степенями свободы сводится к изучению отображения плоскости, сохраняющему площадь [20]. Поэтому все вопросы, рассматриваемые в данной диссертации непосредственно переносятся на теорию динамических систем.
Исторически вопрос берет свое начало от работ А. Пуанкаре [53]. Им было открыто явление расщепления сепаратрис. Все фазовое пространство разбивается сепаратрисами на две компоненты, на ограниченную и неограниченную. При наличии расщепления сепаратрис появляется также стохастический слой. Этот слой образуют устойчивая и неустойчивая сепаратрисы, каждая из которых является одномерной линией на плоскости (в случае двух степеней свободы).
Таким образом, при наличии расщепления сепаратрис фазовое пространство состоит из двух компонент: регулярной и стохастической. Регулярная компонента достаточно хорошо изучена. Она является объектом теории KAM. Ей посвящены работы Колмогорова А.Н. [45], Арнольда В.И. [37], Мозера Ю. [50] и др. Стохастическая же компонента изучена значительно хуже. Именно ей посвящается данная диссертация.
Актуальность темы диссертации связана осознанием значимости явления расщепления сепаратрис не только для нелинейной физики [43,44,48,10], но и для современного естествознания [52,55]. Дело в том, что рассматриваемые отображения тесно связаны с Гамильтоновыми динамическими системами. Развитие современных компьютерных технологий позволяет воочию видеть явления, связанные с хаосом. Одним из универсальных механизмов возникновения хаоса является расщепление сепаратрис. Если отображение имеет неподвижную точку гиперболического типа, то у него существуют устойчивое и неустойчивое инвариантные многообразия этой точки, называемые сепаратрисами. В двумерном случае — это кривые па плоскости, и для интегрируемой системы они совпадают. Если же они пересекаются в какой-либо точке под ненулевым углом, то появится бесконечно много таких пересечений, так как при итерациях точка пересечения должна перейти в точку пересечения. При этом сепаратриса не может иметь самопересечений. В результате, в фазовом пространстве образуется очень сложная картина, называемая стохастическим слоем. Если в интегрируемую систему ввести малое возмущение, то появляется стохастический слой. Его толщина может быть степенной по параметру возмущения. В этом случае применимы стандартные методы асимптотических теорий. Например, разложение в степенной ряд [53] или метод Мельникова [49]. Стохастический слой может иметь экспоненциально малую по параметру возмущения толщину. В работе М. Нёпоп [23] в качестве примера рассмотрены квадратичные отображения плоскости. В ней показаны некоторые аналитические свойства таких отображений. Однако большинство

результатов носит численный характер. Наиболее перспективное аналитическое направление исследования было предложено Лазуткиным В.Ф. в [46]. Продвижение в этом направлении, несомненно, возможно только при сочетании аналитических и численных методов. Настоящая работа является развитием предложенных идей, в первую очередь в аналитическом направлении.
Обзор литературы
Стохастическим явлениям в целом, и расщеплению сепаратрис в частности, посвящено огромное количество публикаций. Здесь мы рассмотрим некоторые из них. Основополагающие разработки принадлежат Л. Мовег’у, Л.М. Сгеепе’у и 1.С. Регсл-уа1’ю. В качестве примера рассмотрим следующие работы: [31], [22], [34]. В них рассматриваются отображения плоскости в себя. В работе [31] были определены аналитические инварианты сохраняющих площадь отображений вблизи гиперболической неподвижной точки. Это означает, что у каждой канонической системы с двумя степенями свободы, имеющей вещественно аналитический Гамильтониан, в некоторой окрестности неустойчивого периодического решения, существует вещественно аналитический интеграл, не зависящий от Гамильтониана. Частично это уже было доказано Биргоффом [19], который установил формальное разложение в виде степенного ряда, но не доказал его сходимости. Мозером была доказана сходимость ряда.
Статья [22] посвящена изучению стандартного отображения Чирикова. В ней дано общее представление о том, что имеется тесная связь между существованием КАМ-торов и стабильностью вблизи периодических орбит. Поскольку Мозером в [32] было показано, что КАМ-поверхности лежат в замыкании множества периодических орбит, резонно полагать, что такая связь может существовать. Грином было установлено, что это действительно так, при надлежащем рассмотрении. В этой работе рассмотрены условия, которые необходимы для связи КАМ-поверхностей и стабильностью вблизи периодических орбит.
В последней из приведенных работ, [34], проиллюстрирован переход от регулярного к хаотическому движению в Гамильтоновых системах. Инвариантные торы, или КАМ-поверхности, содержащие регулярное движение, сужаются до инвариантных замкнутых кривых на плоскости. Для рассмотренных отображений граница между регулярным, упорядоченным движением и нерегулярным, хаотическим задается радиусом сходимости аппроксимирующего ряда. Члены степенного ряда сильно осциллируют из-за присутствия малой величины в делителе. Представлен метод для укрощения подобного поведения ряда. Он основан на преобразовании показателя сходимости С — — 1п ас в интеграл от непрерывной, но недифференцируемой А-функции, график которой имеет похожую структуру на малых расстояниях. Свойства самоподобия проиллюстрированы для хаотических границ функции ас (у), где V — частота.
Одна из важнейших задач теории расщепления сепаратрис — получение асимптотической формулы для этого самого расщепления. Сначала остановимся на классических асимптотических методах. Открытое А. Пуанкаре в конце XIX века явление расщепления сепаратрис [53], исследовалось для интегрируемой динамической системы с

Очевидно, Z — изоморфизм банаховых пространств. Определим также аналогичную формулу для двух диффеоморфизмов Х± : Х+м(Х)д ) —> Xq(D^). Сопоставим
(4.2.17) Д"1 = Al1l+1P+l+ AZ11Z1P-1,
где Д±г и Р± были определены в Утверждениях 3.2 и 4.10, соответственно. Требуемые свойства оператора Д-1 следуют непосредственно из свойств операторов ДЦ11 и Р±. □
Таким образом, оператор X-1 можно определить по формуле:
(4.2.18) X-1/ = —piA~1(ip2f) + 7>2Д_1(7>1/) •
Утверждение 4.11. Возьмем 7 > 4, ô > 0 такие, что 7 — 5 >4, и А > 1; выражение (4.2.18) задает ограниченный оператор X-1: X1(Da) —> <Т7_зs(Da) с нормой, удовлетворяющей оценке
(4-2.19)
где константа зависит только от 6q , 7 и Ô. Если / G X1(Da) , то w = X-1/ является решением уравнения Lw = /.
Доказательство. Пусть / 6 X^Da) • Тогда из (4.2.10) и (4.2.16) следует, что
P2Î £ А’7_4(Da) , vr/ S А'7+з(Х)д) .
Утверждение 4.10 порождает первое утверждение и оценку (4.2.19). Последнее утверждение является следствием (4.2.11). □
Применяя оператор X-1, можно переписать (4.2.7) как
(4.2.20) w = ip + L~lT(w),
где будет решением однородного уравнения L

4.2.2. Применение принципа сжимающих отображений. Во-первых, давайте оценим нормы w и P{w). Неравенство (4.2.2) дает нам
(4.2.21) |ги(т)i < 1, Vt G DA при условии, что А достаточно велико, и
const
(4.2.22) IMU <