Динамическая трехмерная обратная задача для системы Максвелла

• Автор: Демченко, Максим Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 82 с.

Оглавление
Введение

Обратные задачи электродинамики

Главный результат

Краткое содержание по главам

1 Геометрия и функциональные пространства

1.1 Векторные операции

1.2 Эйконал, полугеодезические координаты, выкройка

1.3 Функциональные пространства

2 Модель динамической системы Максвелла

2.1 Динамическая система Максвелла

2.2 Модель динамической системы Максвелла
3 Восстановление риманова многообразия по граничным данным
3.1 Управление с части границы
3.2 Задача с объемными источниками
3.3 Восстановление риманова многообразия
4 Преобразование Мт
4.1 Оператор Кт
4.2 Оператор Мт
4.3 Послойное представление Мт
4.4 Оператор Максвелла на поперечных полях
5 Обратная задача в области
5.1 Изображения волн
5.2 Восстановление скорости
5.3 Проекторы на£4(гМ) при г —>
5.4 Восстановление £, ц
Приложение
6.1 Доказательство Леммы
6.2 Главный символ оператора Кальдерона в негладкой области
Литература

Введение
Обратные задачи электродинамики
Распространение электромагнитных волн в среде описывается системой Максвелла
де дк
гсй к = £— +ае +], го Ье=-/1—. (1)
Здесь е(ж,£), /г(ж, £), з{х) - векторные поля в К3 (соответственно электрическое, магнитное поле и плотность тока), х £ К3, £ £ М., е{х) и //(ж) -диэлектрическая и магнитная проницаемости, а(х) - проводимость среды. Рассмотрим задачу, связанную с системой (1), в пространственной области Г2 С К3, £ > 0. Предположим, что ] = 0, известны значения е и Л в начальный момент времени £ = 0, а также заданы значения касательной составляющей е на д1 при всех временах £ > 0. При определенных требованиях на эти данные, а также на область Г2 и коэффициенты е, ц, ст, такая задача имеет ровно одно решение [23].
Задача остается корректной, если мы задаем на дП касательную составляющую магнитного поля; однако, если мы зафиксируем касательные составляющие е и Ь одновременно, задача станет переопределенной, поскольку между значениями е и Н на границе есть зависимость, которая определяется характеристиками среды в области. Именно эта зависимость служит данными обратной задачи: требуется определить коэффициенты е, ц, <т, когда для достаточно широкого набора решений прямой задачи известны значения касательных составляющих па <ЭП электрического и магнитного полей. Такого рода обратные задачи называются динамическими.
Во многих работах по обратной задаче электродинамики предполагается гармоническая зависимость ноля от времени. В этом случае можно перейти от системы (1) к стационарной системе Максвелла:

следовательно, отвечающий ей оператор К“ является ограниченным и самосопряженным.
В равенстве (4.1) можно опустить вес ц. В самом деле,
(К“г, гг) = (т]К3г, у~1и)) = I д,£(г] (Х — Е)г, г?_1гг)

с!£((Х*-Е*)г,ш). (4.2)

Лемма 6. Пусть я £ (0,Т] удовлетворяет (1.8). Тогда для (3 £ Ь2>п(б1!1)0 11*, г £ С°°(Г28) справедливо равенство
(тф, К3гГ1иЛ, г)п, = (/3,с-1 Хг)п».
Доказательство. В разделе 1.3 было показано, что в Ь2л(П3) ©Ц3 плотны поля класса С7“(Пг), принадлежащие этому подпространству, поэтому мы можем считать, что /3 обладает такой гладкостью. Имеют место равенства гоЬ/З = О, IV/? |г= 0, что следует из (1.11) и (1.14). По (4.1) имеем
{уВ, К'ЧоЬгф. = [ Д (т)Р, (Xе - Е5) ??_1го12)п*

[ (т/З, Хту-1го12)пя ~ / й?(,го12)п{ = [ Д I йсг{/3,Х2).
У о по 7г£
В последнем переходе мы применили формулу интегрирования по частям в П, воспользовавшись тем, что при почти всех £ по Условию 1 выполнено ВОТ £ 1лр. Применив теперь к повторному интегралу формулу (1.7):
I Д [ да с с~г (/3, N г) = ( дх с-1 (/?, Иг),
30 ./г? ./п»
мы получаем желаемое равенство. □
Лемма 7. Для любого поля г £ С'ос(П7’) справедливо соотношение
(7xV1rot2,XV1rotz) = 2 (Хт??-1го12,с-1Х2). (4.3)
Доказательство. Применим к левой части (4.3) последовательно фор-