Нормальные формы квантовых наблюдаемых

• Автор: Аникин, Анатолий Юрьевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 96 с.

ОГЛАВЛЕНИЕ
ВВЕДЕНИЕ

1. Квантовые наблюдаемые

1.1. Алгебра Н„

1.2. Норма, мажоранты и аналитичность

1.3. Примитивный базис, г-разложенис и базис Е„

1.4. Эрмитовы наблюдаемые

1.5. Автоморфизмы алгебр Н и Ы(Т)

1.6. Лемма Пуанкаре для Н„,

2. Формальная теория нормальной формы

2.1. Вводные замечания

2.2. Каноническая форма квадратичных наблюдаемых
2.3. Квантовая нормальная форма: простой случай
2.4. Квантовая нормальная форма: общий случай
2.5. Нерезонансная нормальная форма. Явный вид
2.6. Эрмитов вид нормальной формы
2.7. Вопросы единственности
3. Динамика неавтономных квантовых наблюдаемых
3.1. Уравнение динамики квантовых наблюдаемых
3.1.1. Динамика в Н

3.1.2. Уравнение Гамильтона динамики неавтономных наблюдаемых
3.1.3. Неавтономное уравнение Гейзенберга
3.2. Неавтономное каноническое преобразование
3.2.1. Дифференцирование алгебры Н(Т)
3.2.2. Отображение Л+
3.2.3. Группа канонических преобразований
3.2.4. Примеры
3.3. Квантовая автономизация
3.3.1. Алгебра неавтономных наблюдаемых
3.3.2. Алгебра А автономных наблюдаемых
3.3.3. Поток Гейзенберга в А
3.3.4. Преобразование Ли в А
4. Квантовая теорема Мозера о нормальной форме
4.1. Формулировка теоремы
4.2. Формальная нормализация
4.2.1. Последовательность канонических преобразований
4.2.2. Свойства 29^
4.2.3. Лемма о формальной нормализации
4.3. Аналитичность: подготовка
4.3.1. Некоторые важные оценки
4.3.2. Оценка правой части гомологического уравнения
4.4. Аналитичность: доказательство
4.4.1. Оценка решений гомологического уравнения
4.4.2. Оценка остатка
4.4.3. Индуктивная лемма
ЗАКЛЮЧЕНИЕ
А. Доказательство предложения 1.

Б. Доказательство предложений 2.1 и 2.2
В. Доказательство предложения 3.7
Г . Доказательство леммы 4.3
БИБЛИОГРАФИЯ

Скажем, что (//,;/) ~ (рТ, и"), если существуют такие векторы
I', I", р, и £ 2", что
р" — р -*г I", и" — Iу --1", р! = р + V, и' = г/ Зг I', 1Ю1 = 1Ю1 • (2-1)
Пусть, например, ??, = 2; р' — и' = (1,0); р" = V" = (0,1). Тогда
{р!У)~(р'и").
Предложение 2.1. П ф {0} тогда и только тогда, когда
Ои'УИОЛО.
Доказательство. См. приложение Б.
Пусть А 6 Ж". Введем обозначение:
Я(А) = /х,у £ Ж”, (д — и, А) = о|.
Рассмотрим линейные пространства:
МА — Брап^ У Г*1"), ^ = Эрап( У Р4-").
ы.у)ед(д) мт)
Напомним, что пространства могут иметь нетривиальное пересечение. Поэтому вместо прямой суммы мы записываем линейную оболочку объединения множеств. Пространство Мд является ассоциативной подалгеброй вВ,а пространство У - линейным подпространством там же. Далее на протяжении параграфа 2.1 мы считаем, что

#2 = 53 А№ О Ху 1=
Предложение 2.2. 1) Пусть Р £ ¥М,1У. Тогда [Р Н^] = (Л, р - о)Р.
2) Пусть Р € Мд. Тогда а,А^Р = 0.
3) Пусть Р £ Мд и ас]щР = 0. Тогда Р = 0.
4) Н = МЛ 0 %
Доказательство. См. приложение Б.
Следствие 2.1. адр2Р = 0 Р £ Мд.