Вполне интегрируемые дискретные системы в трех измерениях

• Автор: Сергеев, Сергей Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Дубна
• Количество страниц: 247 с. : ил

Оглавление

1 ПРЕДСТАВЛЕНИЕ НУЛЕВОЙ КРИВИЗНЫ

1.1 Основная алгебраическая система: общая формулировка

1.2 Локальные матричные системы

1.2.1 Локальное уравнение Янга - Бакстера

1.2.2 Векторная модель

2 ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА ДЛЯ 2 + 1 КВАНТОВОЙ ЭВОЛЮЦИИ

2.1 Алгебраическая система

2.2 Фиксация калибровки и квантование

2.3 Ко-токовая формулировка основной системы

2.4 Феномен подобия

2.5 Комментарии
3 СТРУКТУРА Д И РЕДУКЦИЯ К КОНЕЧНОМУ ЧИСЛУ СОСТОЯНИЙ
3.1 Реализация Б
3.1.1 д - дилогарифмическая функция
3.1.2 Обобщенная перестановочная функция
3.1.3 Фундаментальная В - матрица
3.2 Иерархия Р - матриц
3.3 Инварианты Р
3.4 Вершинная матрица модели Замолодчикова - Бажа-нова - Бакстера
3.4.1 Определение вершинной матрицы модели ЗББ .
3.4.2 Геометрическая параметризация матрицы Р1^
3.5 Редукция к конечному числу состояний
3.5.1 Функциональное отображение Р^

3.5.2 Универсальный вид R'jV^
4 КЛАССИЧЕСАЯ ЭВОЛЮЦИОННАЯ СИСТЕМА
4.1 Общее определение эволюционирующей системы на решетке кагоме
4.2 Классическая эволюционная модель
4.2.1 Еще раз об отображении R/
4.2.2 Оператор эволюции
4.2.3 Линейная система на торе
4.2.4 Эволюция линейной системы
4.2.5 Интегрируемость
4.3 Точное решение в конечном объеме
4.3.1 Вспомогательная линейная задача и спектральная
кривая
4.3.2 Параметризация динамических переменных
4.3.3 Минимальный размер решетки
4.4 Лагранжевы уравнения движения и солитоны
4.4.1 г-функция
4.4.2 Солитоны
4.4.3 Симметрии солитонных уравнений
5 КВАНТОВАЯ ЭВОЛЮЦИОННАЯ СИСТЕМА
5.1 Эволюция и линейная система на решетке кагоме
5.1.1 Эволюция и динамическая система
5.1.2 Линейная система
5.2 Свойства квантовых матриц с коммутативными столбцами
5.2.1 Матрицы класса LCA и их свойства
5.2.2 Матрица коэффициентов конечной линейной системы
5.3 Интегрируемость квантовой эволюции
5.3.1 Инвариантность!
5.3.2 Комбинаторное представление квантового детерминанта
5.3.3 Алгебра коэффициентов и функциональное уравнение
5.4 Конечный оператор эволюции
5.5 Примеры моделестроения
5.5.1 Двумерный пример: Эволюция на полосе

5.5.2 Однородная модель Замолодчикова - Бажанова -
Бакстера
6 КВАЗИКЛАССИЧЕСКИЙ ПРЕДЕЛ
6.1 Формулировка квазиклассической модели
6.2 Дискретная эволюция в квазиклассических моделях
6.3 Модель свободных бозонов
6.4 Комментарии: функциональные R - операторы
7 СЛОЕНИЕ ТРЕХМЕРНЫХ МОДЕЛЕЙ
7.1 Конструкция следа
7.2 Алгебраическое доказательство уравнения Янга - Бакстера
7.2.1 Определения и примеры
7.2.2 Проекционный дубль для A^li
7.2.3 Случай п —

Глава
ЛИНЕЙНАЯ СИСТЕМА ДЛЯ 2 + 1 КВАНТОВОЙ ЭВОЛЮЦИИ
В этой главе мы сформулируем совершенно иные правила построения »сновной алгебраической системы: линейную алгебраическую систему 31, 33, 34, 35]. Преимуществом нашего подхода является следующее:
• Во-первых, полученное нами отображение не тривиально, допускает введение сохраняющейся локальной алгебры Вейля, и следовательно, допускает построение реализации сплетающего отображения - фундаментальный оператор В, который дает в конечномерном пределе В - матрицу серии Замолодчикова - Бажанова - Бакстера [16].
• Во-вторых, линейность алгебраической системы позволяет построить производящую функцию для интегралов движения, и таким образом доказать полную интегрируемость модели.
!.1 Алгебраическая система
Определим основную алгебраическую систему следующими правшами:
• Присвоим каждой ориентированной вершине V графа 0 вспомогательный “внутренний ток” ф. Предположим, что эти токи порождают четыре “поверхностных тока”, истекающих из вершины в четыре окружающих эту вершину клетки, и пропорциональных внутреннему току с некоторыми коэффициентами (сопротивлениями) а, Ь, с, с!, интерпретируемыми как вершинные, т.е. динамические, переменные, как это показано на рисунке 2.1. Все эти величины, токи ф