Комплексный метод ВКБ для адиабатических возмущений периодического оператора Шредингера и спектр почти-периодических операторов

• Автор: Федотов, Александр Александрович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 366 с. : ил.

Содержание

Глава 1. Введение

1.1 Задачи, исследуемые в диссертационной работе

1.2 Комплексный метод для адиабатических возмущений периодиче-

ских уравнений

1.3 Почти-периодический оператор

Глава 2. Периодический оператор Шредингера

2.1 Известные факты

2.2 Мероморфная функция ш и мероморфный дифференциал П . .

Глава 3. Основная теорема комплексного метода ВКБ

3.1 Основные объекты комплексного метода ВКБ

3.2 Основная теорема
3.3 Доказательство Теоремы 3.2.
Глава 4. Построение канонических линий и канонических областей
4.1 Линии Стокса и линии стоксова типа
4.2 Конструкции “адиабатического” комплексного метода ВКБ для
W(C) = a cos С
4.3 Построение канонических кривых
4.4 Построение канонических областей
Глава 5. Принципы продолжения
5.1 Основные принципы “продолжения” асимптотик
5.2 Пример построения области продолжения
5.3 Доказательство Леммы о прямоугольнике
5.4 Доказательство оценок “убывающих” решений
5.5 Доказательство Принципа примыкающей области
5.6 Доказательство Леммы о трапеции
5.7 Доказательство Леммы о линии Стокса
Глава 6. Очень краткое введение в теорию почти-периодиче-ских операторов
6.1 Сведения из спектральной теории эргодических семейств операторов

6.2 Результаты, относящиеся к теории монодромизации

Глава 7. Сохранение абсолютно непрерывного спектра в середине спектральной зоны
7.1 Основные результаты
7.2 Асимптотики матрицы монодромии
7.3 Елоховские решения
7.4 Доказательство Теоремы 7.1.
Глава 8. Разрушение абсолютно непрерывного спектра на относительно небольших спектральных зонах
8.1 Основные результаты
8.2 Изоэнергетическая кривая
8.3 Согласованный базис
8.4 Общие асимптотические формулы для коэффициентов матрицы
монодромии
8.5 Вычисление коэффициентов матрицы монодромии
8.6 Коэффициенты матрицы монодромии и изоэнергетическая кривая
8.7 Асимптотики о и & при т
8.8 Асимптотики показателя Ляпунова
8.9 Простое наблюдение о спектре (1.1.1)
Глава 9. Переходы Андерсона на краях спектральных зон
9.1 Основные результаты
9.2 Согласованный базис
9.3 Вычисление матрицы монодромии
9.4 Доказательство спектральных результатов
9.5 Фазовая диаграмма
Глава 10. Взаимодействие соседних зон
10.1 Основные результаты
10.2 Грубое описание спектра
10.3 Доказательство спектральных результатов
10.4 Вычисление матрицы монодромии по матрицам перехода
10.5 Вычисление матриц перехода
10.6 Комбинации коэффициентов Фурье
Глава 11. Взаимодействие соседних зон: резонансный случай
11.1 Результаты
11.2 Асимптотики матрицы монодромии
11.3 Случай т >>
11.4 Случай малого т
11.5 Возможные спектральные сценарии при малом т
Глава 12. Решения разностных уравнений
12.1 Монотонные блоховские решения
12.2 Конструкция из KAM теории
12.3 Показатель Ляпунова: оценка снизу
Литература

Глава
Периодический оператор Шредингера
Материал этой главы систематически используется в дальнейшем. В ней мы рассматриваем оператор Шредингера (1.2.6), действующий в Ь2{R). Мы предполагаем, что потенциал V является вещественнозначной 1-периодичес-кой функцией из класса L20C(R).
В параграфе 2.1 мы напоминаем известные факты из теории периодического оператора Шредингера. В параграфе 2.2 мы вводим и изучаем ме-роморфный дифференциал, описываемый в рамках теории периодического оператора, но возникающий в адиабатическом подходе.
2.1 Известные факты
Доказательства результатов, описанных в этом параграфе, можно найти в [28], [70], [75] и [86].
2.1.1 Спектр и блоховские решения.
2.1.1.1 . Спектр оператора (1.2.6) состоит из отрезков
[Ei, Е2], [Eg, KJ, ... [E2n+i, Е2п+2],
вещественной оси, таких что
Ег<Е2<Е3<Е4... Е2п < E2n+i < Е2п+2 < • • • (2.1.1)
Еп —^ -}-оо, 71 —^ -роо. (2.1.2)
Точки Еп, п £ N, оказываются собственными значения периодического оператора в L2(0,2) с периодическими граничными условиями.
Отрезки Е2п-1. Е2п, п > 1, называются спектральными зонами, а (Е2п, E2n+i), n > 1, — спектральными лакунами.
Если Е2п < E2n+i, то говорят, что та-ая лакуна открыта. В противном случае, говорят, что она закрыта. В случае общего положения, число открытых лакун бесконечно. Спектральную зону, окруженную открытыми лакунами, называют изолированной.
2.1.1.2 . Пусть ф - решение периодического уравнение Шредингера,

(х) + у(х)ф(х) = Еф(х), (2.1.3)
удовлетворяющее соотношению
ф{х + ) = цф(х), Ух 6 R, (2.1.4)