Соотношения для специальных функций математической физики, связанные с унимодулярными псевдоортогональными группами

• Автор: Шилин, Илья Анатольевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 132 с.

Глава 1. Представления унимодулярных псевдоортогональных групп

1. Группа БО (р, д), ее алгебра Ли и некоторые подгруппы

2. Орбиты некоторых подгрупп и инвариантные меры

3. Представление группы БО(р, д) в пространстве 1)а

Глава 2. Соотношения, соответствующие переходам между базисами

1. Соотношения, связанные с группой БО(2, 1)

2. Соотношения, связанные с группой БО(2,2)

3. Соотношения, связанные с группой БО(3, 2)

4. Соотношения, связанные с произвольной псевдоортогональной группой

Глава 3. Соотношения, индуцированные ^ представлениями подгрупп

1. Соотношения, связанные с группой БО(2, 1)
2. Соотношения, связанные с группой БО(2, 2)
3. Соотношения, связанные с группой £0(3,2)
Заключение
Литература
Актуальность темы. Теория специальных функций возникла в конце 18-го века, когда при решении дифференциальных уравнений математической физики и вычислении интегралов появилось большое число неэлементарных функций. В настоящее время насчитывается огромное количество как самих таких функций, так и их классов. Столь же обширна и область приложения специальных функций — Ричард Аски предложил даже в связи с этим называть специальные функции «функциями, используемыми всюду» ([71]; в предисловии к [43] он дает «простое, но не инвариантное относительно времени определение: функция называется специальной, если встречается настолько часто, что ей присваивается название»).
Наряду с другими подходами к проблеме унификации знаний о специальных функциях (общей теорией ортогональных многочленов, аналитической теорией линейных дифференциальных уравнений, к которым относится уравнение Гаусса, теорией интегральных преобразований, таких, как Лапласа, Меллина, Фурье) важную роль играет теоретико-групповой подход, основу которого составляет теория представлений групп Ли.
Связь между специальными функциями и представлениями групп, обнаружившаяся в теории инвариантов и картановской теории симметрических римановых пространств, оказалась наиболее заметна в квантовой механике, поскольку для решения возникающих там дифференциальных уравнений методом разделения переменных понадобилось использовать симметрию, то есть группы преобразований, оставляющие инвариантными некоторые важные характеристики уравнений. Поскольку в некоторых частных случаях решения таких уравнений удавалось выразить через специальные функции, возникла потребность в изучении связи специальных функций и указанных групп преобразований. Таким образом, представления групп оказались связаны в первую очередь со специальными функциями математической физики. Соответственно изменилось и понимание последних: в теоретико-групповой трактовке их первостепенная роль заключается в демонстрации отношений симметрии.

Под влиянием работ И. М. Гельфанда и М. А. Наймарка по исследованию неприводимых представлений некомпактных групп Ли в 1965 году вышла монография Н. Я Виленкина [12], впервые оформившая «побочный эффект метода разделения переменных» в самостоятельное научное направление. В 1968 году, когда эта книга была переиздана в США, появились две родственные ей монографии У. Миллера ([84]) и Дж. Толмена ([94]). С этого момента число работ, посвященных теоретико-групповым методам в теории специальных функций, нарастает лавинообразно. Важные результаты, относящиеся в первую очередь к самой теории представлений, получили в своих работах И. М. Гельфанд, М. А. Наймарк ([49]),
Н. Я. Виленкин, 3. Я. Шапиро, М. И. Граев, Ф. А. Березин, С. Г. Гинди-кин, Д. П. Желобенко, Р. С. Исмагилов, В.-Б. К. Рогов, В. Ф. Молчанов,
А. У. Климык и др. В работах Н. Я Виленкина ([12] - [23]), М. И. Граева, М. А. Шлейниковой ([23], [64]), Е. Е. Петрова, А. И. Нижникова ([20], [21], [50] - [55]), Л. М. Клесовой ([15], [16]), А. П. Павлюка ([16, 58], [62]), Г. М. Гузаирова, А. А. Руднева, О. А. Дорошкевич ([14]) теоретикогрупповые методы являются лишь средством, с помощью которого получены различные соотношения, интегральные представления, рекуррентные и предельные формулы и т. д. для различных специальных функций.
К сегодняшнему дню взгляд на специальные функции математической физики как на матричные элементы представлений групп Ли является общепризнанным. И хотя в последнее время много внимания уделяется £/-аналогам специальных функций, все так же актуальным остается исследование классических специальных функций теоретико-групповыми методами. Так, решение многих задач в различных областях науки и техники часто приводит к вычислению интегралов (в том числе и многомерных) и рядов (в том числе по нескольким параметрам), содержащих специальные функции. Несмотря на обширность справочной литературы по этому вопросу, всегда остаются ряды и интегралы, не попавшие в нее. Полученные в настоящей работе результаты пополняют наши представления о специальных функциях.
Целью работы является получение новых соотношений для некоторых специальных функций математической физики. Ставятся задачи: а) получить формулы, возникающие при рассмотрении матричных элементов

, ст + 1 + /р ,, , о + З-ф , ,
X 2^ — — А: — 2/-ь 1; - + 1 +
+ (-1)*вГ — + 1р+1,к-21 +
х 2*1
_ £±Ы£ _,, *_ 2/ +1; Е±3±Ф + * __ Л]

+00
| (сЬ я)0 ехр (фл) £&

для экспоненциального преобразования Фурье.
> Напишем выражение для ядра с£р3 в интегральной форме
^зС/”1»/-^?-1’3) и воспользуемся леммой 13. Второе интегральное выражение получается из первого, если считать, что к = 1. <
Замечание. Если во втором равенстве последней теоремы вычислить интеграл по формуле 2.5.46.(6) из [61], предварительно записав число ехр(/рл) в тригонометрической форме, то получим, что при условии -1 < Яе а < 0 справедливо соотношение
в(2±р..)аЧ(-2±1а>,1:
2±§=*;-Ш-
+ в Г ° -+1+ *, Л ЛГ. £11 ■- '£, 1; Р ■±13 +±