Асимптотическое исследование нелинейных нелокальных моделей типа реакция - диффузия - адвекция с пограничными и внутренними слоями

• Автор: Никитин, Андрей Геннадьевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2008
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 198 с.

Оглавление
Введение

Глава 1 Начальные задачи для сингулярно возмущенных ин-

тегродифференциальных уравнений

§ 1 Задача Коши для сингулярно возмущенного интег-

родифференциального уравнения типа Вольтерра

§ 2 Задача Коши для сингулярно возмущенного интегро-

дифференциального уравнения Фредгольма

Глава 2 Краевые задачи для обыкновенных сингулярно воз-

мущенных интегродифференциальных уравнений

типа реакция-диффузия
§ 1 Пограничные слои в нелинейных краевых задачах
для обыкновенного сингулярно возмущенного ин-
тегродифференциального уравнения
§ 2 Внутренние слои в нелинейной краевой задаче для
обыкновенного сингулярно возмущенного интегро-дифференциального уравнения типа реакция-
диффузия
Глава 3 Краевые задачи для сингулярно возмущенных интег-
родифференциальных уравнений эллиптического типа
§ 1 Постановка задачи
'§ 2 Формальная асимптотика решения
§ 3 Существование и асимптотическая устойчивость решения типа ступеньки

Глава 4 Движущиеся фронты в интегропараболическом
уравнении реакция-диффузия-адвекция
§ 1 Постановка задачи
§ 2 Формальное асимптотическое разложение решения
с внутренним переходным слоем
§ 3 Обоснование формального асимптотического разложения решения с движущимся внутренним переходным слоем (фронтом)
§ 4 Пример
Заключение
Список
литературы
ВВЕДЕНИЕ
Актуальность темы.
Математические задачи для уравнения реакция-диффузия-адвекция имеют много важных практических приложений в химической кинетике, синергетике, астрофизике [34, 35], биологии, теории фазовых переходов и многих других областях естествознания. Во многих важных случаях решения этих задач имеют внутренние и пограничные слои (см. работу [1] и приведенные в ней ссылки). С точки зрения приложений наибольший интерес представляют решения с внутренними слоями, которые принято называть контрастными структурами. Контрастная структура типа ступеньки характеризуется наличием внутренних переходных слоев, локализованных в окрестности некоторых точек (в двумерном случае - в малых окрестностях некоторых замкнутых кривых), в которых происходят резкие переходы решения из окрестности одной части семейства решений вырожденного уравнения (т. е. уравнения, которое получается из исходного при обращении малого параметра в нуль) в окрестность другой части этого семейства.
В теории сингулярных возмущений контрастные структуры ранее исследовались в нелинейных эллиптических краевых задачах с малыми параметрами при старпгах производных, рассматриваемых в ограниченных областях. Впервые существование контрастных структур в сингулярно возмущенных задачах для обыкновенных дифференциальных уравнений было доказано в работах А.Б. Васильевой и В.Ф. Бутузова [2-5]. Результат по существованию двумерных контрастных структур типа ступеньки принадлежит П. Файфу (Р. Fife) и У. Гринли (W. Greenlee) [6]. Асимптотические разложения решений типа контрастной структуры по малому параметру можно построить на основе метода пограничных функций [2, 34-36]. Для одномерных задач это сделано в [2-5, 7, 34-35] и ряде других работ, для некоторых двумерных задач -в [8, 9, 36]. Обширная библиография по этой проблематике содержится в [7].

ниє от кривой С.: г] = (г- f (І,є))/є. Аналогичным образом в окрестности границы дС2 вводится локальная система координат (р,т), где р - расстояние от точки МєП до границы ВО. вдоль той внутренней нормали к границе, которая проходит через точку М, a m — координата точки границы, из которой выпущена нормаль. Погранслойная переменная т = р/є является растянутым с коэффициентом 1/є расстоянием от границы области 5Г2.
Асимптотическое разложение решения задачи (19), (20) построено с помощью модификации алгоритма метода пограничных функций, использованной в § 2 гл. 2, на двумерный случай и имеет следующий вид
и(х,є)= 2 єп(йп(х,С)+Р„и(7],1) + Ппи(т,т))

(22)
= її(х,С,є) + Ри(г/,1,є) + Ии(т,т,є),
где иt (х) - регулярные члены асимптотики, Р,и(г),1) - функции внутреннего переходного слоя, П(и(г, т) - функции пограничного слоя. Потребуем выполнение следующих условий.
Условие Е1. Функция g является достаточно гладкой.
Условие Е2. Пусть существуют две достаточно гладкие функции <р{(х,С) и х є Q(+ которые для любой простой замкнутой кривой С = ЗП!+) удовлетворяют системе двух связанных интегральных уравнений
j g(M (х, С), q> (s,C),x,s,0)ds + J g((p{~x,C),(p{+s,C),x,s,0)ds = 0,
Q(-) ДІО
J g((pi+x,C), Qw Н»
xeQ(+>,