Пертурбативный симметрийный подход и некоторые уравнения теории солитонов

• Автор: Новиков, Владимир Сергеевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2002
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 74 с.

Содержание
1. Введение

2. Пертурбативный симметрийный подход.

2.1. Симметрийный подход - основные определения

2.2. Символьное представление

2.3. Симметрийный подход в символьном представлении.

2.4. Обобщение на случай систем эволюционных уравнений

3. Нелокальное обобщение симметрийного подхода

3.1. Введение

3.2. Обобщенные уравнения Бенджамина-Оно

3.3. Классификация интегрируемых уравнений типа Бенджамина-Оно

3.4. Уравнение Абловитца
3.5. Уравнение Камассы-Холма-Дегаспериса
3.6. 2 + 1-мерные уравнения
4. Безотражательные потенциалы акустической спектральной задачи
4.1. Введение
4.2. Безотражательные потенциалы акустической спектральной задачи
5. Заключение

1. Введение
Интегрируемые нелинейные уравнения в частных производных имеют множество приложений в современной физике и математике и описывают множество важных физических моделей. Кроме того, интегрируемые нелинейные уравнения интересны сами по себе. В настоящее время существует чрезвычайно богатая теория интегрируемых динамических систем, посвященная, в основном, проблеме построения решений таких систем и изучению алгебраических и аналитических структур, связанных с ними. Основополагающей теорией является метод обратной задачи, который берет свое начало с работ Гарднера, Грина, Крускала и Миуры (см., например, [1]) и В.Е. Захарова и А.Б. Шабата [2].
Чрезвычайно важной задачей в теории интегрируемых систем является проблема определения, какие системы являются интегрируемыми в рамках известных методов теории интегрируемых систем, каким необходимым условиям удовлетворяют такие системы. Здесь также существует ряд подходов, позволяющих выяснить, является ли данная система интегрируемой в рамках тех или иных методов или нет. Среди таких подходов выделим теорию Пенлеве, пертурбативный анализ почти интегрируемых и квазилинейных систем и симметрийный подход, базирующийся на теории высших симметрий и законов сохранения.
В симметрийном подходе существование бесконечной иерархии высших симметрий и/или локальных законов сохранения берется за определение интегрируемости. Основными целями теории являются как получение легко проверяемых необходимых условий интегрируемости и идентифицирование интегрируемых случаев, так и полное описание и классификация интегрируемых систем определенного вида. Подход успешно зарекомендовал себя при описании интегрируемых эволюционных уравнений и систем

уравнений [3, 4, 5]. Метод применим к эволюционным уравнениям произвольного вида
щ = F(un,...,ui,uo), п> 2 (1)
где М0 = u(x,t),Ul = ux(x,t),u2 = uxx(x,t),... ,un = dxu(x,t). Здесь F есть произвольная функция, зависящая от конечного числа аргументов. В симметрийном подходе предполагается, что все об’екты, как то высшие симметрии и плотности законов сохранения , зависят от конечного числа аргументов Uj и принадлежат соответствующему дифференциальному полю F(и, D), или, другими словами, являются локальными функциями, и это является ключевым местом теории. Основополагающим результатом в теории является понятие формального рекурсионного оператора (или формальной симметрии) уравнения [6, 3, 4, 5]), для которого справедлива теорема А.Б. Шабата: если уравнение (1) интегрируемо, то есть обладает бесконечной иерархией высших симметрий, то существует формальный ряд
А = lm,Dm + 1 + • ■ • + Iq + l-D 1 + UD 2 + • • ■ , (2)
удовлетворяющий уравнению
А(Л) = F* о А — А о F*, (3)
такой, что все коэффициенты G F(и, D). Здесь D есть оператор дифференцирования D = и Ft есть производная Фреше правой части уравнения (1).
Если уравнение (1) интегрируемо, то есть обладает бесконечной иерархией высших симметрий, то уравнение (3) разрешимо и все коэффициенты 1т, 1т-1,... формального рекурсионного оператора Л принадлежат дифференциальному полю F(и, D). Условия разрешимости уравнения (3) можно сформулировать в элегантной форме канонической серии законов сохранения уравне-

3. Нелокальное обобщение симметрийного подхода
3.1. Введение.
Главной целью пертурбативной теории является обобщение симметрийного подхода на случай нелокальных и неэволюционных уравнений. 2 + 1-мерные уравнения и их иерархии также имеют в своей структуре нелокальность, и поэтому для этих уравнений требуется некоторая модификация симметрийного подхода [14]. Символьное представление представляется удобным при работе с нелокальными динамическими системами.
Здесь мы рассмотрим три типа нелокальных уравнений. Первым типом является уравнение Бенджамина-Оно
щ - Н(и2) + 2ищ, (66)
где оператор Н есть преобразование Гильберта
Обобщение симметрийного подхода, связанное с уравнениями типа Бенджамина-Оно будет рассмотрено в секциях 3.2,3.3.
Вторым примером является уравнение Камассы-Холма-Дегаспериса
7гц = стих + итх, т = и — щ , сф 0. (67)
Теория, связанная с этим уравнением, рассматривается в разделе

Обобщение теории на случай 2 + 1-мерных систем строится в разделе 3.6.
Пертурбативный симметрийный подход в принципе позволяет определять вид нелокальных операторов в интегрируемых системах. Такая задача рассматривается в разделе 3.4.