Пентагональное уравнение : Приложения в теории узлов и квантовых интегрируемых системах

• Автор: Кашаев, Ринат Мавлявиевич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2001
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 141 с. : ил

Введение
В основе алгебраического подхода к квантовым интегрируемым системам в рамках квантового метода обратной задачи рассеяния [24] лежит (квантовое) уравнение Янга-Бакстера (УЯБ) [82, 15], решения которого обычно принято называть И-матрицами. По этой причине сам квантовый метод обратной задачи рассеяния иногда называется методом К-матрицы. Важная роль К-матриц проявляется и в теории точно решаемых двумерных моделей статистической физики [16], теории узлов и зацеплений [37] и в трехмерной топологической квантовой теории поля [79].
Квантовые группы [22], введенные как адекватная абстрактная алгебраическая основа для построения конкретных И-матриц, являются алгебрами Хоифа с. дополнительной структурой квазитреугольностью — означающей наличие специального элемента, называемого универсальной Я-матрицей, в тензорном квадрате алгебры, которая помимо прочего удовлетворяет УЯБ в абстрактном алгебраическом смысле. Типичные примеры квантовых групп - это д-деформированнъте универсальные обертывающие алгебры полупростых алгебр Ли. Мощный способ построения квантовой группы из произвольной алгебры Хопфа — это конструкция дубля Дринфельда, где универсальная И-матрица дается каноническим элементом. Выше упомянутые примеры квантовых групп, например, могут быть построены как дубли Дринфельда своих борелев-ских подалгебр с последующей факторизацией по ценру.
В работах [68, 11, 75, 61] с произвольной алгеброй Хопфа был ассоциирован “дубль Гейзенберга” ассоциативная алгебра, которая в отличие от дубля Дринфельда не является алгеброй Хопфа, но тем не менее также обладает каноническим элементом в своем тензорном квадрате, удо-
влетворяющим нелинейному тождеству, известному как пентагональпое уравнение (ПУ) [14]. Это уравнение в той или иной форме возникает в теории представлений групп, алгебр Хопфа и киральных алгебр двумерной квантовой конформной теории поля. Впервые оно появилось в теории углового момента в форме тождества Биденхарна-Эллиота на брсимволы или коэффициенты Рака. По существу, ПУ отражает свойство коассоци-ативности алгебры Хопфа и аккумулирует в себе как ее алгебраическую структуру, так и структуру соответствующей теории представлений. В специальной, возможно наиболее общей форме ПУ играет важную роль в теории квазихопфовых алгебр [1] обобщений алгебр Хопфа путем ослабления свойства коассоциативности.
Основная цель диссертации состоит в исследовании приложений ПУ в теории квантовых интегрируемых систем, а также в теории узлов и зацеплений. Достижение этой цели осуществляется путем решения следующих задач:
• исследование алгебраической природы ПУ и его связи с УЯБ (Глава 1);
• исследование различных вариантов обобщения дилогарифмической функции на основе ПУ (Главы 1,2);
• построение и исследование свойств инвариантов узлов и зацеплений ассоциированных с циклическим квантовым дилогарифмом (Глава 3);
• построение квантовой теории пространств Тейхмюллера двумерных поверхностей с проколами и исследование ее связи с квантовой теорией уравнения Лиувилля (Главы 4, 5).
То. что понятие алгебры Хопфа тесным образом связано и с ПУ, и с УЯБ означает, что эти два уравнения должны быть связаны и друг с другом. Разница между двумя уравнениями отражается в характере их связи с алгебрами Хопфа . Если решения (постоянного) УЯБ фиксируют перестановочные соотношения между образующими элементами алгебры Хопфа [7], то решения ПУ задают правила умножения для линейного базиса в ней [14]. В этом смысле ПУ значительно более сложный объект.

В частности, наиболее интересные примеры решений ПУ задаются операторами в бесконечномерных линейных пространствах. По-видимому, именно из-за этого обстоятельства ПУ уделялось значительно меньше внимания но сравнению с УЯБ в прикладных задачах математической физики. Соответственно, значительно сложнее и построение явных содержательных примеров решений ПУ. В главе 1 диссертации найдена связь двух уравнений как на уровне явного построения решений УЯБ из решений ПУ, так и на абстрактном алгебраическом уровне: построен ка-ноничекий гомоморфизм дринфельдова дубля в тензорное произведение двух гейзенберговых дублей.
Технически наиболее простыми оказались функциональные решения ПУ, которые посредством квантования могут использоваться для построения более сложных решений. Построены конкретные примеры. В частности, исходя из разложений типа Гаусса в группах Ли, построен обширный класс функциональных решений ПУ, удовлетворяющие дополнительному соотношению, которое отражает тетраэдральную симметрию. Каждое такое решение эквивалентно существованию в некоторой группе Ли Б частично определенного инволютивного отображения
Тетраэдральная симметрия §з (группа перестановок трех элементов) здесь реализуется отображениями г.):
Детально исследован один пример функционального решения ПУ, который при квантовании приводит к (некомпактному) квантовому дилогарифму (КДЛ), обозначаемому в дальнейшем Фь(^). Эта мероморфная в комплексной плоскости г функция зависит также от комплексного параметра Ь. Используемое нами название обусловлено следующим асимптотическим поведением
І: Є —> Є, ]2 = і<і
удовлетворяющего уравнению
К*у) = КхШщ(хЖу)), г(х) = х

Пример 1.9. Выберем натуральное число 1 и пусть N делит I2 )-1 I 1, а а» то же, что и в предыдущем примере. Алгебру А = МаДМ) ® МаДМ) зададим генераторами Х,У, Іі, V с соотношениями
Хы = Уы = иы - Vм = 1, си ХУ = УХ, XII = си'ііХ, XV = си'УХ,
Уи = ш'іІУ, УУ = сиН1УУ, иУ = Уи
и с коумножениями
Дх(Х) = Х,Х2, ДХ(У) =х'/кУ, + (1 -х),/мХ,У2,
ДХ(Щ = х2/ыЦ( + (і - х)2/7,х]ни2 + (х - х2)7/ых^у,г^. Дх(У)=х2/гдУ, I (1-х)2/7)Х!+1У2 + (х-х2!,/м2,Х,У
где элемент Z = (и + У)У 1 имеет простое коумножение
дх(г) = х,/к2,+ (і-х)1/мх;г
Для этого обобщенного коумножения, которое ассоциировано с тем же функциональным решением ПУ из примера 1.2, также выполняется условие (а) предложения 1.8. а элемент 5(х) выражается через произведение циклических КДЛ:
Б{х) = ¥х(Е)¥х(Р)^(Є)¥х(Н)ЦїГ'АГХ) (1.41)
где Ч'-функция и оператор Е определены формулами (1.38), 11-функция формулой (1.40), а остальные операторы даются выражениями
Р = Ц^Х] нУ2Е Є = и2у21Н, Н = итУг1Е
Следующий пример демонстрирует отношение к квантовым двумерным конформным теориям поля.
Пример 1.10. Пусть А есть вертексная алгебра [39] с пространством состояний У (с тривиальной Х2-градуировкой) и с полями
У(а,г) = ^ а(п)г~п~х, Уа Є У, й(П) Є ЕпсЦУ)