Представления постоянной гауссовой кривизны для кинематически интегрируемых уравнений математической физики и их приложения

• Автор: Тихомиров, Дмитрий Владимирович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 101 с. : ил.

Введение. Обзор литературы

Глава I. Понятия представления гауссовой кривизны и кинематической интегрируемости для уравнений математической физики

§1.1. Представление гауссовой кривизны

1.1.1. Общие положения

1.1.2. Примеры представлений гауссовой кривизны для уравнений математической физики

§1.2. Представление нулевой кривизны

1.2.1. Общие положения

1.2.2. Кинематическая интегрируемость уравнений

1.2.3. Примеры представлений нулевой кривизны для уравнений математической физики

§1.3. Структурные уравнения поверхности в Д3

§1.4. Теорема существования представления нулевой кривизны

для представления постоянной гауссовой кривизы уравнений
Глава II. Дифференциально-геометрический критерий кинематической интегрируемости §2.1. Дифференциальные формы для операторов модифицированного вида задачи Захарова-Шабата
§2.2. Теорема об отображении класса кинематически интегрируемых уравнений в класс уравнений, допускающих представление постоянной гауссовой кривизны
§2.3. Дифференциально-геометрический критерий кинематической интегрируемости уравнений
§2.4. Примеры построения представлений нулевой кривизны и
метрик для уравнений математической физики

2.4.1. Таблица примеров представлений нулевой кривизны
и метрик для уравнений математической физики
2.4.2. Псевдосфернческая метрика
2.4.3. Сферическая метрика
2.4.4. Специальный способ построения псевдосферической метрики и операторов представления нулевой кривизны
Глава III. Матрица монодромии и преобразования Бэклунда для уравнений математической физики §3.1. Матрица монодромии и приложения для уравнений математической физики
3.1.1. Общие положения
3.1.2. Задача Гурса и матрица монодромии
3.1.3. Подход к построению матрицы монодромии с помощью калибровочного преобразования специального вида
§3.2. Преобразования Бэклунда и представление гауссовой кривизны
3.2.1. Псевдосфернческая метрика общего вида
3.2.2. Локальные преобразования Бэклунда для эллиптического уравнения Лиувилля
3.2.3. Локальные преобразования Бэклунда для уравнения Бюргерса
§3.3. Геометрическая интерпретация преобразований Бэклунда
и солнтонных решений для уравнения синус-Гордона
3.3.1. Преобразования Бэклунда для уравнения сннус-Гордона
3.3.2. Геометрическая интерпретация односолитонного решения уравнения синус-Гордона
3.3.3. Преобразования Бэклунда для уравнения сннус-Гордона
и псевдосферпческие поверхности

3.3.4. Исследование особенностей псевдосферпческих поверхностей, отвечающих солитонным решениям уравнения
синус-Гордона
Заключение
ПРИЛОЖЕНИЕ. Некоторые понятия теории мультипликативного интеграла
Список литературы

Метрика и представление нулевой кривизны данного уравнения будут иметь вид:
ds2 = (ch2 и + w2)c?x2 — 2(ch и sh и — u^u2x)dxdt + (sh2 и + к2 )dt2,
shu ~^r + if
-if |shw )
Пример 3. Уравнение теплопроводности
Пусть Ъ — A, g = £; А,£ = Const, тогда второе уравнение системы (2.19) выполнится тождественно. Пусть а — и, р будем искать в виде:
р = au + /Зих.
Подставим a,b,p,q в первое уравнение системы (2.19):
ut — аих — (Зихх + Ааи + А (Зих — £и = 0. (2.20)
Выберем константы а, /3, А, £ так, чтобы уравнение (2.20) перешло в уравнение теплопроводности щ—ихх = 0. Собирая коэффициенты при и, их, ихх и приравнивая их соответствующим коэффициентам в уравнении теплопроводности, получим следующую систему уравнений:
Ас* — £ = 0,
/3 — а = 0,
/3 = 1.
Откуда следует, что а = А,£ = А2 и, соответственно: а = и, р = Хи + ux,b = A,g = А2. В итоге получено представление нулевой кривизны уравнения теплопроводности с соответствующей метрикой, вычисленной по формуле (2.18):
ds2 = (к2 + A 2)dx2 + 2(Aw2 + иих + A z)dxdt +
+(А2д2 + 2А иих + г/2 + А4)Л2,
и=( I" § + ;Л к=АО» + «.)
|-<Л -W’ V^
— I ch и j