Соотношения для некоторых классов специальных функций математической физики, связанные с представлениями группы SO(p,p+1)

• Автор: Прокофьева, Наталья Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 164 с.

План работы.

<г* Введение

Глава 1. Группа 80(р,р+) , её разложения на подгруппы и представления. Специальные функции.

§ 1. Подгруппы группы О. Разложения Ивасавы, Гаусса и

Картана

§ 2. Группы 80(р,р+1), БО(р), $0(р, 1) и некоторые их

подгруппы. Разложения групп на подгруппы

§ 3. Представления групп

§ 4. Специальные функции

Глава 2 . Интегральные соотношения для специальных (» функций, связанные с переходом между параболоидом,

сферой и гиперболоидом.

§ 1. Интегральные соотношения, связанные с переходом между параболой и окружностью, и представлениями группы 50(2,1)
п. 1. Группа 50(2,1), подгруппы, разложения
п.2. Контуры, базисы, билинейный функционал,
представления группы 50(2,1)
п.З. Матричные элементы операторов перехода от
одного базиса к другому. Связь между базисами
п. 4. Соотношения для функций Уиттекера, Лежандра
п. 5. Интегральные соотношения для функций Уиттекера и гипергеометрических, связанные с переходом между параболой и окружностью
§2. Интегральные соотношения для специальных функций, связанные с переходом между параболоидом, сферой и гиперболоидом, и представлениями группы 50(2,2)
п. 1. Группа 50(2,2), представления, многообразия
п.2. Многообразия на конусе, системы координат и
подгруппы группы 80(2,2)
п.З. Базисы на многообразиях
,» п.4. Матричные элементы операторов перехода между базисами, соответствующими редукции
группы 80(2,2) на подгруппы
п.5 Интегральные соотношения для функций Макдональда, Уиттекера и <7-функций Мейера
Глава 3 . Связь между базисами, соответствующими редукции группы ЯО(р,р+1) на подгруппы.
§ 1. Группа 80(р, р+1) и её представления
§2. Построение канонического базиса, связанного со сферой ЯР~Х
** §3. Многообразия на конусе [?,?]= 0 , инвариантные
^ относительно подгрупп в 80(р, р+1), системы координат на них и инвариантные относительно этих под
групп меры на многообразиях
§4. Базисы на многообразиях, связанные с редукцией под
групп группы БО(р, р+1)
§5. Связь между базисами, соответствующими редукции
группы 80(р,р+1) на подгруппы
Заключение
Библиография
Несмотря на то, что теория специальных функций математической физики бурно развивается с середины XIX века, она не потеряла своей акту'аль-ности ив настоящее время. Для нахождения многих формул и изучения свойств специальных функций многие годы использовался классический подход — решение дифференциальных уравнений в частных производных методом разделения переменных и при отыскании собственных функций дифференциальных операторов в некоторых криволинейных системах координат. Исследования специальных функций классическим методам связаны с трудами Эйлера, Гаусса, Римана, А.Н. Тихонова, A.A. Самарского, Г.Н. Яковлева,
H.H. Лебедева, А.Ф. Никифорова и др. Такой подход не мог дать достаточно полного охвата теории специальных функций и вывода многих интегральных соотношений, имеющих прикладное значение.
В работах Э. Картана впервые показана связь специальных функций математической физики с представлением групп. Тогда получает развитие новый подход изучения таких функций - теоретико-групповой.
Дальнейшее развитие данный метод получил в работах М.А. Наймарка, И.М. Гельфанда и их последователей в области представлений групп: Ф.А. Березина, Р. Годмана, Хари-Чандра, И. Шура, и др. В ходе этих исследований была установлена связь теории представлений групп с автоморфными функциями, построена теория специальных функций над конечными полями, специальных функций в однородных областях, построены представления многих групп и т.д. В работах Ф. Петера и Г. Вейля доказана полнота системы неприводимых представлений компактной группы Ли. В работах A.A. Кирилова построены унитарные представления нильпотентных групп Ли. Близким вопросам посвящены исследования в области теории представлений групп и их приложений, Д.П. Желобенко, В. Рудина, Г. Макки, М.И. Граева И.О. Шапиро, В.К. Рогова, P.C. Исмагйлова, С.Г. Гиндикина и др.

Во-вторых.. отметим несколько частных случаев. Если в формуле (4.2.6) положим т=О, получим
с£ (0=1-
(4.2.14)
При т=1,2,3 значения многочленов Гегенбауэра:
С (0
С[(1) = 2р{р + 1)
гр +
(4.2.15)
С?0) = -р(р + 1)(р + 2)

2р +
Исследуя разложение многочленов Гегенбауэра по формуле (4.2.6) заметим, что они содержат лишь степени поэтому:
с£(-0=(-1Г сР{о,
С?2лгг-1-1 (0) = 0, а отсюда (4.2.16)
с£,«»>')"' Г(р)
Г(р) Г(1 + от)
Интересно так же значение многочленов при <=1, которое получается с помощью рекуррентной формулы:
Ср (1) = 2Р+!—I С 1^ (1), и следовательно
С[( 1)
Ц2Р + 1) ЯГ(2 р)
(4.2.17)
В-третьих, имеет место свойство ортогональности для многочленов Гегенбауэра: многочлены:
2Р Т(р)
2 (р + 1)1 Г(2 р + 1)п
-Л/2
С[(х), 1 = ОД,
(4.2.18)