Разрушение решений смешанных краевых задач для уравнений соболевского типа

• Автор: Макаров, Павел Александрович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 86 с.

Оглавление
Введение
Список обозначений
1 Глобальная разрешимость смешанной краевой задачи для линейного уравнения тина Соболева
1.1 Постановка задачи
1.2 Существование классического решения
1.2.1 Вспомогательная лемма
1.2.2 Задача с нулевым начальным условием
1.2.3 Задача с ненулевым начальным условием
1.3 Единственность классического решения
2 Разрушение решения нелинейного нелокального уравнения Соболевского типа
2.1 Постановка задачи
2.2 Локальная разрешимость в сильном обобщенном смысле
2.3 Необходимые и достаточные условия разрушения сильного обобщенного решения
3 Разрушение решения нелинейной системы уравнений тина Соболева
3.1 Постановка задачи
3.2 Локальная разрешимость в сильном обобщенном смысле
3.3 Разрушение сильного обобщенного решения за конечный промежуток времени
4 Разрушение решения смешанной задачи для обобщенного уравнения Буссинеска с нелинейным граничным условием
4.1 Постановка задачи
4.2 Локальная разрешимость в слабом обобщенном смысле
4.3 Единственность слабого обобщенного решения

4.4 Разрушение слабого обобщенного решения за конечный промежуток
времени
Заключение

Введение
Исследованию разнообразных начальных и начально-краевых задач для уравнении типа Соболева посвящено большое количество работ. Причем по всей видимости первым сторогим математическим исследованием задач для уравнений не типа Коши-Ковалевской является пионерская работа С. Л. Соболева [1]. Данная работа вызвала большой интерес к исследованию неклассических уравнений, названных уравнениями тина Соболева. В работе [1] было выведено линейное уравнение, описывающее малые колебания во вращающейся жидкости
Исследования С.Л. Соболева были продолжены Р. А. Александрином [2], В. Н. Масленниковой [3], В. П. Масловым [4], Т. И. Зеленяком [5],
Н. Д. Копачевским [6, 7], С. А. Габовым и А. Г. Свешниковым [8, 9]. Среди работ, продолживших исследования С. Л. Соболева, уместно отметить работы М. И. Вишика [10] и С. А. Гальнерна [11, 12], в которых рассматривались начально-краевые задачи для уравнений, обобщающих указанное уравнение.
Отметим, что в монографии [8] были рассмотрены вопросы глобальной во времени разрешимости начально-краевых задач для уравнений возникающих в так называемых стратифицированных жидкостях и стратифицированных, вращающихся жидкостях. Был предложен оригинальный метод редукции рассматриваемых начально-краевых задач к сингулярным интегральным уравнениям посредством так называемых динамических потенциалов. Полученные интегральные представления решений начально-краевых задач имеют весьма удобный вид для аналитических исследований таких свойств решений как асимптотическое поведение решений при больших временах, а так же для численного моделирования происходящих в стратифицированных жидкостях процессов. Так было выявлено наличие в стратифицированных жидкостях чрезвычайно любопытного эффекта “квазифронта”. В стратифицированной среде, где в предположении несжимаемости все возмущения должны распространяться с бесконечной скоростью, при наличии точечного мгновенного источника распространяется волновой фронт, скорость которого конечна.

где ТУ = V П К$, Т>" — Т>Т>, причем V С К. Для первого интеграла
в правой части (2.63) справедливы все рассуждения относительно существования и непрерывности производных, проведенные для случая ограниченной области Т>. Покажем, что второй интеграл в (2.63) сходится равномерно относительно М Є К с 25' как несобственный интеграл 2-го рода. Для этого достаточно воспользоваться представлением (2.15) для функции ь(г, 1). Подынтегральное выражение удовлетворяет лемме Жордана в верхней полуплоскости и имеет в этой полуплоскости одну особую точку Ц = 2. С помощью техники, примененной для вывода оценки (2.56), легко получить:
|і>(г,і)| < — е'/ее-(1-£)г, (2.64)

где є - достаточно малая величина. Из оценки (2.64) очевидным образом следует равномерная и абсолютная сходимость второго интегрального выражения в (2.63). Кроме того, оценка (2.64) доказывает регулярность объемного потенциала (2.59) на бесконечности при условии ограниченности функции и0.
Отметим, что построенный потенциал на границе области О принадлежит классу С([0, Г]; С(5)). Пусть теперь й = щ+ и2. Тогда гг2 должна удовлетворять задаче
Г (Ли2 - и2) - и2 = О,
< и2(Р, і) = д{Р, Ї) - и0(Р) - щ{Р, 1),
I «г |г=о = 0.
Существование решения данной задачи следует из теорем 1 и 2.
Итак, доказана
Теорема 3. Если ио(М)С(Т>), д{Р,Ґ) Є С([0, Т];С(5)) и д{Р, 0) = «о(Р), то на отрезке [0,Т] существует классическое решение внутренней и внешней (при условии ограниченности функции щ) смешанной краевой задачи (2.57).
1.3 Единственность классического решения
В предыдущем разделе было показано, что классические решения внутренней и внешней смешанных краевых задач для уравнения (1.2) существуют и представимы в виде суммы динамических потенциала двойного слоя и объемного потенциала. Докажем, что для поставленных задач имеет место единственность решения.
Теорема 4. Внутренняя (внешняя) смешанная краевая задача (2.57) имеет не более одного классического (классического, регулярного на бесконечности) решения.