Некоторые подходы к усреднению эволюционных уравнений со случайными коэффициентами

• Автор: Грачев, Денис Александрович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 117 с. : ил.

Содержание
1 Введение

1.1 Актуальность исследований

1.2 Цели и задачи работы

1.3 Защищаемые положения

1.4 Научная новизна

1.5 Теоретическая и практическая ценность

1.6 Апробация работы

1.7 Краткое содержание работы

1.8 Основные выводы

2 Тензорный подход к усреднению дифференциальных уравнений с короткокоррелированными случайными коэффициентами
2.1 Введение
2.2 Постановка задачи усреднения т-го порядка
2.3 Математическое ожидание решения
2.4 Понятие линеаризирующего тензора
2.5 Уравнение для математического ожидания линеаризирующего тензора и его скаляризация
2.6 Основная теорема и алгоритм решения задачи усреднения .
2.7 Обсуждение результатов 1-лавы
2.8 Выводы
3 Усреднение полей Якоби вдоль геодезических риманова многообразия со случайной кривизной
3.1 Введение
3.2 Постановка задачи
3.3 Уравнение для статистического среднего 2-го порядка

3.3.1 Следствия из уравнения Якоби
3.3.2 Вывод уравнения для среднего квадрата
3.4 Уравнение для статистического среднего 3-го порядка
3.4.1 Линеаризирующий тензор поля Якоби 3-го порядка .
3.4.2 Скаляризация тензорного уравнения
3.5 Уравнение для статистического среднего 4-го порядка
3.5.1 Линеаризирующий тензор поля Якоби 4-го порядка .
3.5.2 Скаляризация тензорного уравнения
3.6 Посторонние решения моментных уравнений и их исключение
3.7 Обсуждение результатов главы
3.8 Выводы
4 Влияние эффектов памяти в задаче о распространении света во Вселенной с неоднородностями
4.1 Введение
4.2 Постановка задачи
4.3 Математическое ожидание поля Якоби и эффекты памяти .
4.4 Обсуждение результатов главы
4.5 Выводы
5 Численное моделирование роста мультипликативных случайных величин
5.1 Введение
5.2 Постановка задачи
5.3 Законы роста произведения случайных матриц и произведения случайных чисел
5.3.1 Теория Ферстенберга
5.3.2 Применение теории Ферстенберга к уравнению Якоби
5.4 Результаты численного эксперимента
5.5 Обсуждение результатов главы
5.6 Выводы

6 Некоторые модели слабонелинейного режима для уравнений со случайными коэффициентами
6.1 Введение
6.2 Постановка задач
6.3 Аналитические результаты
6.4 Результаты численного моделирования
6.5 Обсуждение результатов главы
6.6 Выводы
Заключение
Список литературы
дифференцируемые функции аргумента х. Тогда система п уравнений с постоянными коэффициентами вида
может быть сведена к линейному дифференциальному уравнению порядка не выше п для одной из функций ді (х) (например, для ді = ді(ж)).
Для нас важно, что в рассматриваемой системе число уравнений совпадает с числом функций. Отметим также, что на коэффициенты «у не накладывается никаких требований кроме требования их независимости от х. Даже если для одного или нескольких уравнений вес коэффициенты н правой части равны 0 (т.е. для одной из функций д[ получается тривиальное уравнение вида д[ = 0), лемма 4 останется справедливой.
Сформулируем теперь основную теорему об общем виде уравнения для статистических моментов решения (1).
Теорема. Класс уравнений (1) с короткокоррелированными случайными коэффициентами замкнут относительно усреднения т-ого порядка, причем коэффициенты в дифференциальном уравнении для < ут > постоянны, а его порядок не превосходит числа различных компонент соответствующего линеаризирующего тензора.
Доказательство: Итак, требуется доказать, что усреднение тп-ого порядка уравнения (1) приводит к линейному уравнению для < ут >, т є N. Для случая обычного усреднения, т.е. когда т = 1, теорема уже доказана, см. лемму 1. Докажем ее для случая т > 2.
Рассмотрим уравнение (14) из леммы 2 для среднего линеаризирующего тензора т-ого порядка и проведем процедуру его скаляризации. В результате получим систему линейных дифференциальных уравнений 1-ого порядка с постоянными коэффициентами, в которой, согласно лемме 3, число различных уравнений равно числу неизвестных функций, т.е. числу различных усредненных компонент линеаризирующего тензора. Одной из них