Изомонодромные деформации и уравнения Пенлеве в задачах случайно-матричного типа

• Автор: Бородин, Алексей Михайлович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 256 с.

Часть 1. ОПРЕДЕЛИТЕЛИ ФРЕДГОЛЬМА, ИЗОМОНОДРОМ-НЫЕ ТАУ-ФУНКЦИИ И ТЕОРИЯ ПРЕДСТАВЛЕНИЙ

1.1. Гармонический анализ на бесконечномерной унитарной группе

1.2. Непрерывное 21*1-ядро. Постановка задачи

1.3. Ядро резольвенты и соответствующая задача Римана-Гильберта

1.4. Система линейных дифференциальных уравнений с рациональными коэффициентами

1.5. Общая постановка

1.6. Изомонодромные деформации. т-Функция Мивы-Джимбы-Уено

1.7. Пенлеве VI

1.8. Другие ядра

1.9. Дифференциальные уравнения — общий подход Дополнение. Интегрируемые операторы и задачи РиманаГильберта

Часть 2. ДИСКРЕТНЫЕ НУЛЬ-ВЕРОЯТНОСТИ И РАЗНОСТНЫЕ УРАВНЕНИЯ ПЕНЛЕВЕ

2.1. Корреляционные функции меры Планшереля
2.2. Интегрируемые операторы и задачи Римана-Гильберта. Общий формализм
2.3. Дискретные интегрируемые операторы и дискретные задачи Римана-Гильберта. Общий формализм
2.4. Интегрируемые операторы и задачи Римана-Гильберта. Частный случай
2.5. Дискретные интегрируемые операторы и дискретные задачи Римана-Гильберта. Частный случай
2.6. Дискретное ядро Бесселя
2.7. Z-меры
2.8. Упрощение ДЗРГ для некоторых интегрируемых операторов
2.9. Дискретное ядро Бесселя и разностное Пенлеве II
2.10. Определитель Фредгольма и dPII
2.11. Начальные условия для dPII
2.12. Дискретное 2 Ai-ядро и разностное Пенлеве V
2.13. Определитель Фредгольма и dPV
2.14. Начальные условия для dPV
2.15. Вырождения в непрерывные РИ и PV

Часть 3. РАСПРЕДЕЛЕНИЕ ПЕРВОЙ ЧАСТИЦЫ В ДИСКРЕТНЫХ ОРТОГОНАЛЬНЫХ ПОЛИНОМИАЛЬНЫХ АНСАМБЛЯХ
3.1. Дискретные задачи Римана-Гильберта и ортогональные многочлены
3.2. Пары Лакса для решений ДЗРГ
3.3. Рекуррентное соотношение для определителей Фредгольма
3.4. Условия совместности для пар Лакса
3.5. Начальные условия для рекуррентных соотношений
3.6. Пары Лакса для дискретных ортогональных многочленов схемы Аски
3.7. Решение условия совместности: общий случай
3.8. Пятое и четвертое разностные уравнения Пенлеве
3.9. Связь с уравнением д-РУ1 Джимбо и Сакаи
3.10. Приложения: рекуррентные соотношения для многочленов схемы Аски
Глава 4. ИЗОМОНОДРОМНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ ЛИНЕЙНЫХ СИСТЕМ РАЗНОСТНЫХ УРАВНЕНИЙ
4.1. Теория Биркгофа
4.2. Изомонодромные преобразования
4.3. Разностные уравнения Шлезингера
4.4. Альтернативное описание потоков Шлезингера
4.5. Непрерывный предел
ЛИТЕРАТУРА

В настоящей работе изучается класс непрерывных и дискретных вероятностных моделей, известных под общим названием “модели случайно-матричного типа”. Источники таких моделей весьма разнообразны. Прежде всего, это теория случайных матриц, которая была развита физиками-ядергциками около 40 лет тому назад, затем теория направленной перколяции, стохастический рост кристаллов, случайные замощения, а также перечислительная комбинаторика и асимптотическая теория представлений.
Модели такого рода всегда доставляют вероятностную меру на пространстве точечных конфигураций, “частиц”, на прямой или одномерной решетке. В теории случайных матриц точечные конфигурации представляют собой собственные значения случайной матрицы.
Одной из наиболее важных характеристик модели является “нуль-вероятность” — вероятность отсутствия частиц в заданном интервале или объединении интервалов. Знание нуль-вероятностей позволяет вычислить функции распределения крайних (самой левой и/или самой правой) частиц, а также функцию распределения расстояния между соседними частицами. Часто эти распределения оказываются основными характеристиками модели, например, в перколя-ционных задачах распределение самой правой частицы есть в точности распределение времени проницаемости, а в теории случайных матриц распределение расстояния между соседними частицами с успехом сверяется с экспериментальными данными из ядерной физики.
Нуль-вероятности, как правило, могут быть представлены в виде определителей Фредгольма вида йе{;(1 — К|./), где К есть некоторый интегральный оператор, а «7 - это множество, где не должно быть частиц. Ядро оператора К обычно имеет вид
(0.1) *(х. у) = %тш
с подходящими функциями •), А( •) и В(•). Единственный известный на настоящий момент способ вычисления таких определителей Фредгольма состоит в их характеризации как решений некоторого обыкновенного дифференциального уравнения или системы уравнений с частными производными.
Задача о выводе дифференциальных уравнений для нуль-вероятностей имеет долгую историю. В 1980 году в работе [67] М. Джимбо, Т. Мива, Я. Мори и М. Сато впервые решили эту задачу для синус-ядра, которое имеет вид (0.1) с 1р(х) — 1/л, А(х) = зшл, В(х) = соях. Они показали, что определитель
для всех х, у 6 X немедленно следует из соотношений (1.3.7) (похожее вычисление можно найти в [36, теорема 3.3]). С другой стороны, из (1.2.8) мы видим, что
лежит в L2(3£, da). Домножая (1.3.8) на д(у) и интегрируя, мы получаем (1 + L)G = Lg, и Kg = (1+L)~1Lg лежит в L2(X). Отсюда следует, что К продолжается до ограниченного оператора (1+L)“1!/ = L(l+L)~l на L2(3i). Обратно, мы видим, что ограниченный оператор L( 1 + £)-1 имеет ядро, которое совпадает с 2^1-ядром К(х,у). □
Предложение 1.3.6 имеет следующее следствие, которое в дальнейшем сыграет важную роль.
Следствие 3.7. Пусть z + z' + w + w' > 0, z + z' < 1, w + w' < 1. Тогда, e обозначениях §1.2, оператор 1 — KJ обратим.
Доказательство. В блочной форме, соответствующей разбиению J = JOut0 Jim оператор 1 — К3 имеет вид
Следовательно, if0ut,out и К-т-1П ■— положительные операторы с нормой меньше
для g <Е С£°(£)
Г1 — К3 к3
Л тгЗ “огЩоЫ -“оиЦт
К3 1 — К3 ■
Несложно проверить, что записанный в блочной форме а ^ оператор является обратимым, если о и {д — са гЬ) обратимы. Следовательно, достаточно доказать, что
1 — и (1 — ■К'ш^п) - — ^опг,опь) 1^оиЬ,п
обратимы.
Из предложения 1.3.6 и определения оператора L следует, что
ifout,out = 1 - (1 + АА*)-1, КШа = 1 - (1 + ДМ)-1.
единицы, а значит, то же верно для К3и1>оиЬ и К3а -п. В частности, 1 - К3иЬ оиЬ обратим. Далее, К3иЬМ = Отсюда
(1-К-т,1и)-К.?а^(1-К3 '-1*3
= (1 — /fin,in) + ограниченный положительный оператор
обратим. □