Потенциалы равновесных мер во внешних полях и экстремальные свойства их носителей

• Автор: Лапик, Мария Александровна
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 76 с. : ил.

Р Введение

1 Скалярная задача равновесия

1.1 Введение

1.2 Задача равновесия логарифмического потенциала во внешнем поле

1.3 Задача равновесия логарифмического потенциала во внешнем поле с ограничением

1.4 Экстремальные функционалы для задач равновесия

1.5 Уравнения для носителя равновесной меры без ограничений

1.6 О единственности решений уравнения для носителя равновесной меры

1.7 Уравнения для интервала равновесия в задаче с ограничениями

1.8 Множество равновесия и непрерывный предел цепочки Тоды

2 Численное нахождение носителей равновесных мер и мно-

% жеств равновесия
2.1 Введение
2.2 Носитель равновесной меры во внешнем поле в отсутствии
ограничений. Случай интервала
2.2.1 Результаты расчетов
2.3 Множество равновесия задачи с ограничением
2.3.1 Вывод экстремальных функционалов
2.3.2 Алгоритм численного нахождения множества равновесия
2.3.3 Пример нахождения множества равновесия: полиномы Кравчука

З Векторная задача равновесия

3.1 Введение
3.2 Векторная экстремальная задача теории потенциала с внешним полем
3.2.1 Постановка задачи и основные теоремы
3.2.2 Экстремальное свойство векторного функционала Маскара-Саффа в отсутствии сталкивания
3.2.3 Равновесные меры переменной массы
3.3 Векторная экстремальная задача теории потенциала с ограничением и внешним полем
3.3.1 Постановка задачи
3.3.2 Условия равновесия для векторных задач
3.3.3 Возрастание равновесных мер
3.4 Равновесие с матрицами взаимодействия Никишина для двух отрезков в поле
3.4.1 Основные определения
3.4.2 Постановка задачи
3.4.3 Равновесные меры и алгебраические функции
3.4.4 Численное решение экстремальной задачи во внешнем поле
Литература

Рассмотрение экстремальных задач теории потенциала восходит к Гауссу [20], но первыми работами в этой области принято считать две статьи
О. Фростмана [18],[19], который рассмотрел экстремальные задачи теории потенциала с логарифмическим ядром в непрерывных супергармо-нических внешних полях и показал, что потенциалы экстремальных мер удовлетворяют некоторым соотношениям равновесия.
Современный интерес к экстремальным задачам теории логарифмического потенциала обусловлен многочисленными приложениями к различным областям математики и математической физики. Среди приложений выделим теорию аппроксимаций и ортогональных многочленов, теорию матричных случайных ансамблей, вполне интегрируемые регуляризации нелинейных гиперболических уравнений в частных производных.
Е.А. Рахманов [9] изучая слабую асимптотику масштабированных ортогональных полиномов относительно весов Фрода, показал, что она тесно связана с потенциалом некоторой равновесной меры во внешнем поле. Тогда же A.A. Гончар и Е.А. Рахманов [4] ввели понятие векторной задачи логарифмического потенциала в связи с рассмотрением полиномов совместной ортогональности, которые возникли при рассмотрении аппроксимаций Эрмита - Паде. Е.А. Рахманов [10] в 1996 году впервые
'-’“кд
[спиш^ + • • ■ + с1риЫк* - 7l) dq,i
+ / (cuU^ + • • ■ + clpU^ - 71) dAQ)1.
Первый интеграл в последнем равенстве равен нулю, второй равен нулю только если SQ j С t. Теорема доказана. □
3.2.3 Равновесные меры переменной массы
В работе [3] изучено поведение равновесных мер массы х относительно параметра х. Для дальнейшего, нам понадобится обобщение некоторых результатов из [3] на векторный случай.
Будем рассматривать экстремальную задачу в классе Л4Х: найти меру Aq Є Мх такую что
ЛА')=Ід=_М ЩД. (3.14)
Очевидно что все обозначения и утверждения предыдущих пунктов переносятся на такую постановку экстремальной задачи поскольку
Aq = Aq. (3.15)
^ х
Утверждение 1. Пусть матрица взаимодействия С = (сц) удовлетворяет условиям (3.11). Тогда для любых х и у таких что у > х > О
верно
^q>Aq. (3.16)
Доказательство. Для доказательства (3.16) достаточно показать что
>7 := TQ + Tq = rQ+t (3.17)