Сингулярная задача Римана - Гильберта и ее приложение

• Автор: Безродных, Сергей Игоревич
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 164 с. : ил.

0.1. Общая характеристика работы. Диссертация посвящена исследованию задачи Римана — Гильберта с разрывными коэффициентами и условиями роста, получению нового, удобного для вычислений представления решения и применению этих результатов к актуальной прикладной проблеме.
Актуальность темы. Задача о восстановлении аналитической в области 23 функции У = и + iv по заданному на границе дЪ соотношению между ее вещественной и мнимой частями
au — bv = с, (0.1)
где а, Ь, с — заданные вещественнозначные функции, называемая задачей Римана — Гильберта, восходит к классическим работам этих авторов [111], [94].
Теория этой задачи и других краевых задач для аналитических функций получила глубокое развитие в работах Ю.В. Сохоцкого [07], Племеля [107], Вольтерра [123], Гильберта [94], [95], Карлемана [85], Нётера [103], Ф.Д. Гахова [32]-[34], Н.И. Мусхелишвили [54], [55], Б.В. Хведелидзе [73], И.Н.Векуа [17]-[20], Н.П. Векуа [21], Б.В. Боярского [14]-[16], A.B. Бицадзе
[11]-[13] и др. Об истории исследований в этой области см. также [34], [35], [40], [55], [73].
Развитие этой теории активно продолжается в настоящее время [56]-[58], [63]-[65], [125], [128] и др. Стимулирующим фактором для этого являются многочисленные применения задачи Римана — Гильберта к актуальным прикладным проблемам в традиционных (гидро- и аэродинамика [45], [53], [98], [130], теория упругости [53], [75]) и современных областях, в том числе в обратных задачах термовязкоупругости [129], теории рассеяния [116] и импе-дансной томографии [97], [110], задачах электролиза [126], теории нейтронных звезд [127] и др.

Задачи Римана — Гильберта, возникающие в связи с приложениями, как правило, приходится решать в сложных областях. Для их сведения к задаче в канонической области, где решение выписывается явно, необходимо строить соответствующее конформное отображение. Его построение представляет собой самостоятельную трудную задачу. Даже в случае многоугольника, когда для отображения есть явное представление (в виде интеграла Кристоффеля
— Шварца), возникает проблема отыскания неизвестных прообразов вершин, фигурирующих в этом интеграле [48], [93], [120]. Эта проблема значительно усложняется в типичной для приложений ситуации, когда прообразы вершин расположены крайне неравномерно и некоторые из них — очень близко друг к другу (что называют кроудингом) [93], [100], [119], [131]. Проблема параметров в ситуации кроудинга является весьма актуальной и привлекает большое внимание исследователей [88], [93], [96], [100], [102], [118], [119], [120], [131].
Отметим, что в приложениях (в механике [71], физике плазмы [27], [51], [69] и др.) нередко возникает важный частный случай задачи (0.1) в сложной области, когда коэффициенты а, 6 и с кусочно-постоянны, а в точках их разрыва предписываются условия роста решения. Заметим, что условие (0.1) при постоянных а, 5 и с представляет собой уравнение прямой на плоскости ш = и + ю. Такое наблюдение подсказывает, что решение задачи Римана
— Гильберта с кусочно-постоянными коэффициентами может быть интерпретировано геометрически как конформное отображение исходной области на некоторый (не обязательно однолистный) многоугольник. Возможность такой интерпретации была указана Риманом [111] (даже для более общей ситуации). Отметим, что реализацией этой интерпретации в случае задачи Римана — Гильберта (с кусочно-постоянными коэффициентами) в полуплоскости было бы представление решения в виде интеграла Кристоффеля — Шварца.
Целью диссертационной работы является:
1) исследование разрешимости задачи Римана — Гильберта в полуплоскости с кусочно-гёльдеровыми коэффициентами и условиями роста в точках разрыва (сингулярной задачи Римана — Гильберта);

2) получение для функции Аппеля (обобщения гипергеометрической функции Гаусса Р) формулы, являющейся аналогом формулы Якоби для Г" и дающей выражение для производной от произведения на некоторые биномы в виде произведения (других) биномов и линейной функции;
3) вывод при помощи найденной формулы типа Якоби для функции нового представления в виде интеграла Кристоффеля—Шварца для решения задачи Римана — Гильберта в полуплоскости с кусочно-постоянными коэффициентами а, Ь и с, имеющими три точки разрыва;
4) решение сингулярной задачи Римана — Гильберта в сложной области (внешности десятиугольника), возникающей при моделировании явления магнитного пересоединения в плазме;
5) построение конформного отображения указанной в п. 4 многоугольной области на каноническую, включающее решение проблемы параметров для интеграла Кристоффеля — Шварца и его обращение в аналитическом виде.
Научная новизна работы заключается в следующем:
1) на основе классических подходов [34], [55] исследована разрешимость сингулярной задачи Римана — Гильберта в полуплоскости с кусочно-гёльдеровыми коэффициентами; решение задачи выписано через интегралы типа Коши;
2) получена указанная в п. 2 целей работы формула типа Якоби для функции Аппеля Г;
3) с помощью этой формулы решение сингулярной задачи Римана — Гильберта в полуплоскости с кусочно-постоянными коэффициентами, имеющими три точки разрыва, преобразовано к виду интеграла Кристоффеля — Шварца; такое представление дает геометрическую интерпретацию решения задачи как конформного отображения полуплоскости на некоторый (не обязательно однолистный) многоугольник и доставляет удобный аппарат для его вычисления;
4) решена сингулярная задача Римана — Гильберта с кусочно-постоянными коэффициентами во внешности десятиугольника, возникающая при моделировании явления пересоединения магнитного поля в плазме; проведена

можно показать, что Н^) = 0(С-1)> С 00• Учитывая еще представление (3.85) и равенство (3.95), справедливое и в рассматриваемом случае п0 = 1, а0 ф 0 или по > 1, приходим к третьей строке формулы (3.81), чем и завершаем доказательство предложения. ■
Из доказанного предложения 5 непосредственно вытекает, что при неотрицательном индексе х функция 5Г = £ Н,
<з-ш)

является решением задачи о скачке (3.72), удовлетворяющим в соответствии с (3.73), (3.79) условию комплексного уравновешивания (3.70), а согласно (3.73), (3.80), (3.81) — условиям роста (3.71); точнее говоря, функция Т(С) имеет в бесконечности несколько меньший порядок роста, чем (х, что, однако, не противоречит условию (3.71).
Тогда функция Щ(), определяемая в соответствии с (3.69) равенством N = ХТ, т.е. с учетом (3.101) — формулой
5«)Х(0 Г ,(«)<й ® 2т } 5(()Х+(()((-<) !

является решением задачи сопряжения (3.65), удовлетворяющим согласно
(3.49), (3.70) условию комплексного уравновешивания (3.66). Из соотношений
(3.50), (3.59), (3.73), (3.80), (3.81) вытекает, что >[(() в точках & (к = 0, К) имеет рост (3.67), (3.68). Точнее, в точке ( = оо функция Х(() имеет следующую асимптотику:
(О (1), если п0 = 0;
0(1п(), если п0 = 1, а0 = 0; ( Ч- оо, (3.103)
О (£а»+п0-1^ если По _ ^ (Го ф 0 или п0 > 1;
т.е. растет медленнее, чем £а°+по. однако, поведение (3.103) не противоречит
условию О((а°+По), указанному в (3.68). Таким образом, при к > 0 частное решение К(£) задачи сопряжения (3.19)—(3.21), (3.23)—(3.27) построено.
4°. Частное решение для случая I при отрицательном индексе х. Пусть индекс х отрицателен. Тогда решение X задачи о скачке (3.70)-(3.72) будем, как