Эллиптические гипергеометрические функции

• Автор: Спиридонов, Вячеслав Павлович
• Шифр специальности: 01.01.03
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Дубна
• Количество страниц: 217 с.

1 Нелинейные цепочки с дискретным временем и их автомодельные решеф ния

1.1 Метод факторизации для уравнения Шредингера

1.1.1 Факторизационная цепочка

1.1.2 Автомодельные потенциалы и квантовые алгебры

1.1.3 Когерентные состояния

1.1.4 Солитоны и модели статистической механики

1.2 Конечно-разностное уравнение Шредингера

1.2.1 Дискретная факторизационная цепочка

1.2.2 Автомодельные редукции, дискретные уравнения Пенлеве и ортогональные полиномы

1.2.3 Цепочки Тоды и Вольтерра с дискретным временем и их симметрии

1.3 Обобщенная задача на собственные значения для двух матриц Якоби

ф- 1.3.1 Обобщенная факторизация и Д/7-цепочка
1.3.2 Сопряженные полиномы
1.4 Симметрии Л/7-цепочки спектральных преобразований и автомодельные редукции
1.4.1 Дискретные симметрии А.//-цепочки
1.4.2 Рациональные и тригонометрические решения
1.4.3 Эллиптические решения, простейший случай
1.4.4 Общее эллиптическое решение
1.5 Нелинейная цепочка для симметричных Яц-полиномов
2 Общая теория тета-гипергеометрических рядов
2.1 Тета-гипергеометрические ряды
Ф 2.1.1 Мультипликативная система обозначений

2.1.2 Односторонние 3ЕТ и двусторонние аСг ряды
2.2 Эллиптические гипергеометрические рады одной переменной
2.3 Эллиптическая цепочка Бэйли
2.4 Многократные ряды
2.4.1 Общее определение
2.4.2 Формулы суммирования для эллиптических гипергеометрических рядов на корневой системе Сп
2.4.3 Аналоги суммы Френкеля-Тураева для А„ и Вп рядов
2.5 Некоторые результаты для тета-функций на Римановых поверхностях
3 Тета-гипергеометрические интегралы
3.1 Общее определение
3.2 Тета и эллиптический аналоги функции Мейера
3.3 Одномерная эллиптическая бета-функция
3.4 Цепочки преобразований для эллиптических гипергеометрических интегралов
3.5 Многомерные эллиптические бета-интегралы для Сп корневой системы
3.5.1 Многопараметрический Сп интеграл (тип I)
3.5.2 Эллиптический аналог интеграла Сельберга (тип И)
3.5.3 Сп интеграл, связанный с детерминантом Варнаара (тип III)
3.6 Интегралы для Ап корневой системы
3.6.1 Многопараметрический Лп интеграл (тип I)
3.6.2 Обобщение смешанных Ап и С„ интегралов Густафсона (тип II)
3.6.3 Обобщение интегралов Густафсона-Ракха (тип И)
3.7 Дополнительный (2га+3)-параметрический эллиптический Ап бета-интеграл (тип I)
3.8 Вывод формул суммирования для эллиптических гипергеометрических рядов с помощью вычетов
4 Биортогональные функции
4.1 Эллиптическое гипергеометрическое уравнение
4.2 Обобщенная задача на собственные значения и трехчленное рекуррентное соотношение
4.3 Доказательство соотношения двухиндексной биортогональности
4.4 Интегральное представление для симметричного произведения двух г2Гп рядов
4.5 Обрывающаяся цепная дробь
4.6 Связь с квантовыми моделями типа Калоджеро

5 Эллиптические гипергеометрические функции с q = 1
5.1 Модифицированная эллиптическая гамма-функция
5.2 Модифицированные эллиптические бета-интегралы с q < 1
5.2.1 Одномерный интеграл
5.2.2 Многомерные интегралы
5.3 Предел р->0и 9-бета-интегралы с | 5.3.1 Сп интеграл типа II
5.3.2 Интегралы типа Г
5.4 Одномерные биортогональные функции с | Заключение 196 •
Список литературы

ф 4 = 44-і(“«+у-і - 4-1)(4+і - 4) - 4 («»+./ - 4+1)(4 - аг„+>-і).
Здесь подразумевается, что 4 / 0. Подставляя (1.122) и (1.123) в (1.97) и (1.98), мы находим, что полиномы <5^ (г) удовлетворяют соотношениям
дО+1) = £^0^ІІ + С?'{г
дГ1) = ВД) + 4(г-4)д^1
со спектральными коэффициентами и суперпотенциалами вида
®п+І — І» Аг = Рп+і Лі.== (1.124)
4 = Ві = В^+1. (1.125)
«/ В„
Два других оставшихся суперпотеициала В), и С) имеют намного более сложный вид:
В>і= фгс£_и СІ = -—^Ц— (в^нГ1 + и- (1-І2б)
4+1 а"+і-і - 4+1 у 4В„+1 у
Очевидно, что условие совместности і —>■ / ± 1 преобразований для С)пс) полиномов порождает Д;/-рекуррентное соотношение и Д+г-цепочку с новыми неизвестными функциями А}п у Таким образом, мы нашли нетривиальный автоморфизм /{//-цепочки.
Теорема 4 Преобразования (1.124)-(1.126) определяют симметрию Ни-цепочки (1.101)-(1.103), то есть эта система уравнений не изменяется при соответствующих подстановках, тідуцированних переходом от Д/[-полиномов Рпг) к их партнерам С)пг).
1.4 Симметрии Д//-цепочки спектральных преобразований и автомодельные редукции
1.4.1 Дискретные симметрии Я/7-ЦеПОЧКИ
Опишем теперь некоторые симметрии Д//-цепочки. Для начала кратко рассмотрим нормировочную (или калибровочную) свободу. Можно преобразовать рекуррентные коэффициенты в (1.99) умножением полиномов на произвольный весовой множитель (( не зависящий от г, Рпг) = 4 Рпг). Это приводит к рекурсиям (1.97), (1.98) с перенормированными ингредиентами
В1=В>1 &п = Щ, В’=В*4, (1.127)
4-1 «4