Существование решений системы дифференциальных уравнений, близких к приближенному решению

• Автор: Васильев, Владимир Андреевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Санкт-Петербург
• Количество страниц: 88 с.

СОДЕРЖАНИЕ
Введение
Глава 1. Постановка 'задачи
Глава 2. Исследование (А1, А2, а2)-гиперболических систем
Глава 3. Условия существования ограниченного решения
линейной неоднородной системы
Глава 4. Сравнение условий существования ограниченного решения
линейной неоднородной системы
Глава 5. Применение условий существования ограниченного решения
линейной неоднородной системы к основной задаче
Глава 6. Анализ линейной системы с помощью алгоритмов
приближенных вычислений
Глава 7. Дополнительные сведения
0 (Аъ А2, аь «-гиперболических системах
Заключение
Список литературы

ВВЕДЕНИЕ
С конца 60-х - нача т 70-х годов прошлого столетия предпринимаются многочисленные попытки исследования качественного поведения периодических и автономных систем с помощью вычислительной техники. Идея такого рода исследований состоит в следующем: строятся приближенные решения (одно или несколько) на весьма длинном промежутке изменения аргумента. Эти приближенные решения задают некоторое множество точек в фазовом пространстве. Есть весьма веские основания надеяться, что эти построенные множества содержат в себе аттракторы и неблуждающее множество изначальной системы. Часто подобными методами удается установить наличие или отсутствие периодических решений, гомоклинических точек и контуров. Все это позволяет получить важную информацию о качественном характере поведения решений заданной системы дифференциальных уравнений.
В настоящее время известно довольно много работ, связанных с этой проблемой, например [1-15].
Приведем некоторые результаты, изложенные в этих работах. Одной из первых и наиболее известных является статья [1], посвященная исследованию уравнения Дуффига с периодическим вынуждением.
В ней изучается дифференциальное уравнение:
х Н дх - (Зх + ат3 = / соз(а;£),
где / > 0 произвольный параметр, а а, (3, <5, ш фиксированные положительные числа. На основе исследования приближенных решений автор делает выводы

о наличии или отсутствии у него аттракторов, неявляющихся периодическими решениями, гомоклшшческих решений и гомоклинических контуров в зависимости от параметра /. А также исследуются свойства (структура) этих решений, путем анализа приближенного решения.
В работе [13] с помощью приближенных вычислений изучаются предельные циклы осциллятора
О а < О,
бг > 0, Уц равняется +1 пли —1, г — 1,
В недавно опубликованной статье [14] при помощи указанных методов изучается структура аттрактора системы
в зависимости от параметров с, сч и к, при этом £, г) > 0.
В работе [15] при помощи численного анализа показано, что в системе
щ + г - аг + = сгг2
22 + 0.5г2 = * могут присутствовать бифуркации при 1т5, Иес ф 0.
Щ = е,(1 - щ) - а*/10 + Х)/(«г)(%- - аг)

а а >
£ = 2( -2£(£ + т]) - £г](соэ в + с2 si.ii 9)
77 = 277 — 2//(2< + З77/4) — 2£?у(со8 в — с2 бит #) — к2г] , в = сг(2£ — 77/2) + (2£ + г/) бш 0 + (2£ — 77)02 сое 9 + 2ск2

где х(£) — решение системы (2.1) такое, что х(П) = хх.
Пусть X! = У1 + Щ. где Ух е и((и), Ъ е а у(£) и ъ(1)- решения
системы (2.1) такие, что у(П) = Уь 2(П) = 21- Покажем, что |ух| < 2Ьх- Действительно, если |ух| > 2Ь, то, поскольку хх €Е Пх(П) и, значит, |хх| < Ь, для решения х(£) справедливо неравенство (3.19), которое вместе с (3.24) и (3.6) приводит к неравенству |х(£2)| > 61+62 — 2Дх, из него и неравенства (3.3)
получается соотношение |х(£2)| > Р1Д2 + 62 > которое противоречит тому, что
х(£о) = хг Е И2(£2). Противоречие и доказывает, что |ух| < 26х. Поскольку ух € ИДИ), из этого неравенства в силу неравенства (2.2) получаем неравенство
|у(*)| < 2а1ЛЬ1е~Х1л{'Ь~и (3.31)
при П < < /2, из которого следует, что
|у(01 < 201,16!, (3.32)
при £х < £ < £2. Кроме того, из (3.31) и (3.5) имеем |у(£2)| < 2Ьх/(ро + 1)- Из равенства г(£2) = х(£2) у(г) и предыдущего неравенства вытекает оценка
Ш <|х(*2)| + --. (3.33)
Ро +
Из равенства (3.30) находим, что |х(£2)| < |х(£2)| + Ф{Ь) = |х2| + |1(£2)|, а отсюда благодаря тому, что х2 6 Л2(£2) и выполнено (3.24), выводим неравенство |х(£2)| < 62 + Р1Д2 I 2Дх. Из последнего неравенства и (3.33) вытекает неравенство

|г(2)| < 62 + Р1Д2 + 2Дх Н —. (3.34)
Ро +