Об операторах, возникающих в задаче о периодических решениях абстрактных включений

• Автор: Гедда Лахсен
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2003
• Место защиты: Воронеж
• Количество страниц: 102 с.

Содержание
Введение

1 Основные понятия и определения

1.1 Многозначные отображения

1.2 Селекторы и аппроксимации

1.3 Измеримые многозначные отображения и многозначный

оператор суперпозиции

1.3.1 Условия Каратеодори и лемма Филиппова о неявной функции

1.3.2 Многозначный оператор суперпозиции

1.4 Меры некомпактности и уплотняющие многозначные операторы

1.5 Относительная топологическая степень и неподвижные точки компактных многозначных отображений
2 Оператор сдвига и эквивалентные операторы
2.1 Структура множества решений абстрактного включения
х Е 5 о эе1^(ж) и оператор сдвига
2.2 Оператор сдвига по траекториям нелинейного дифференциального включения
2.3 Построение оператора, соответствующего задаче о перио-
дических решениях нелинейного дифференциального включения, через оператор Коши и его свойства
2.4 Оператор, соответствующий задаче о периодических реше-
ниях нелинейного дифференциального включения в гильбертовом пространстве, и его свойства
2.5 Принцип усреднения
3 Принцип родственности в задачах о периодических решениях полулинейных дифференциальных включений

3.1 Теорема родственности в абстрактном виде
3.2 Принцип родственности в задачах о периодических решениях для квазидифферепциальных включений
3.3 Одна теорема о существовании периодических решений
Литература

В диссертации используются следующие обозначения:
(X, йх) ~ метрическое пространство X с метрикой <1х)
Р(Х) - множество всех подмножеств пространства X;
В(Х) - множество ограниченных подмножеств пространства X; К(Х) - множество всех компактных подмножеств пространства X; В(х,г) - шар пространства X с центром в х, радиуса г;
И/е(^) - е-раздутие множества О С X, т.е.
ИЦ£2)= иВ(і,е);

1т - характеристическая функция множества т;
^([О,Т];Е) - пространство суммируемых по Бохнеру функций, определенных на отрезке [О, Т] со значениями в банаховом пространстве Е
С([0,Т]]Е) - пространство непрерывных функций, определенных на отрезке [О, Т] со значениями в Е
Ж7([0, Т]; Е) - пространство абсолютно непрерывных функций, определенных на отрезке [О, Т со значениями в Е
СТ{Е) - пространство непрерывных Т-периодических функций, определенных на Е+ со значениями в Е
Ьт(Е) - пространство непрерывных Т-периодических функций, определенных на М+ со значениями в Е
Т - оператор сужения Т-периодических функций на отрезок [О, Т]; V - оператор Т-периодического продолжения функций из С([0,Т];Е) на М+.

5!) 11-5/ - Яаііоо < л/||/-аііхі.
Перейдем теперь к группе условий на оператор ІИ Будем предполагать, что:
Fi) для любого х £ Е многозначное отображение F{., х) : [0, d] —У KV(E) имеет измеримый селектор;
7*2) почти для всех t £ [0, d] отображение F(t, .):£'—)■ KV(E) полунепрерывно сверху;
F3) для любого непустого ограниченного множества П С -Е1, существует функция Uq £ L+([0, d],R) такая, что 1Им)|| < Ua(t) для всех х £ П и почти всех t £ [0, d];
F4) существует функция к £ L1([0,d],R) такая, что для любого ограниченного множества Ас Е выполнено неравенство
x(F{t, А)) < k(t) • х(А) для п.в. t С [0, d).
Здесь % - мера некомпактности Хаусдорфа в пространстве Е. Напомним, что если П - ограниченное подмножество пространства Е, то
х(П) = inf{е > 0; П имеет конечную е — сеть в Е}.
Замечание 2.1.1 В силу условий Fij-F^) оператор суперпозиции selp, действующий из (7([0, d], £/) в ^([0, d], Е) следующим образом:
selp(ж) = {f£ L[0,T},Ey, f(t) € F{t,x(t)) n.e. t € [0,d]} корректно определен (см. [22]).
В дальнейшем нам потребуются две леммы, доказательства которых можно найти в [22].
Лемма 2.1.1 Пусть последовательность {жп}„>о С C([0,d],E), {/„} С L1([0, d], Е), fn £ selp(xn), п > 1 такие, что хп —->■ xq, /„ —У /о- Тогда /о £ sel^(x0).