Рациональные и специальные решения второго уравнения Пенлеве и его высших аналогов

• Автор: Демина, Мария Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 160 с. : ил.

Содержание
Введение

1 Физико-математические модели, в которых встречаются уравнения

Пенлеве и их высшие аналоги

1.1 Свойство Пенлеве в теории специальных функций

1.2 Уравнения Пенлеве и их свойства

1.3 Обобщенная иерархия второго уравнения Пенлеве

1.4 Второе уравнение Пенлеве в физике полупроводников и теории плазмы

1.5 Результаты первого раздела

2 Анализ асимптотического поведения решений высших аналогов второго уравнения Пенлеве
2.1 Применение Пенлеве-аналнза и степенной геометрии для построения асимптотических разложений решений нелинейных дифференциальных уравнений
2.2 Асимптотики и асимптотические разложения решений уравнений иерархии второго уравнения Пенлеве в окрестности нуля и бесконечности
2.3 Асимптотики и асимптотические разложения решений уравнений иерархии второго уравнения Пенлеве в окрестности точки г
2.4 Результаты второго раздела
3 Специальные решения уравнений Пенлеве, их высших аналогов и
неинтегрируемых обобщений
3.1 Методы поиска точных решений нелинейных дифференциальных уравнений

3.2 Метод многоугольников Ньютона для построения точных решений нелинейных дифференциальных уравнений
3.3 Автомодельные решения нсинтегрируемого аналога модифицированного уравнения Кортевега — де Вриза
3.4 Однопараметрическпе семейства решении третьего уравнения Пенлеве
и его неинтегрируемого обобщения
3.5 Специальные решения четвертого уравнения Пенлеве и его неинтегри-руемых обобщений
3.6 Точные решения пятого уравнения Пенлеве
3.7 Однопараметрические семейства решений шестого уравнения Пенлеве
3.8 Специальные решения обобщенной иерархии второго уравнения Пенлеве
3.9 Периодические решения нелинейных дифференциальных уравнений
3.10 Результаты третьего раздела
4 Рациональные решения второго уравнения Пенлеве и его высших
аналогов
4.1 Преобразования Бэклунда для решений уравнений обобщенной иерархии второго уравнения Пенлеве
4.2 Необходимые и достаточные условия существования рациональных решений
4.3 Классификация рациональных решений обобщенной иерархии второго уравнения Пенлеве
4.4 Рациональные решения иерархии второго уравнения Пенлеве
4.5 Результаты четвертого раздела
5 Обобщенные полиномы Яблонского — Воробьева и их свойства
5.1 Рекуррентные формулы для обобщенных полиномов Яблонского - Воробьева
5.2 Обыкновенные дифференциальные уравнения для обобщенных полиномов Яблонского - Воробьева
5.3 Свойства нулей обобщенных полиномов Яблонского - Воробьева
5.4 Полиномы Яблонского - Воробьева для первых представителей иерархии второго уравнения Пенлеве

5.5 Результаты пятого раздела
Заключение
Приложение I Экспоненциальные добавки к асимптотическим разложениям решений уравнений иерархии второго уравнения Пенлеве
І.А Экспоненциальные добавки, соответствующие ребру
І.В Экспоненциальные добавки, соответствующие ребру
Список литературы

представлена в виде
(3 = ГП1В1+т2В2, 7711, 7772 е 2 (2-11)
то векторы В, Во образуют базис решетки Z. В результате, мы находим разложение решений вида
ю(г) = Сггг+ (2.12)
аеК(*1
где коэффициенты ся, й € К(кг
совместности для всех критических индексов Фукса (критических чисел), в против-
ном случае коэффициенты с., являются многочленами от 1пг. Число произвольных постоянных с,, в € К(кг
Шаг 5. Построение нестепенных асимптотик. Укороченные уравнения, соответствующие обобщенным граням многоугольника, могут определять не только степенные асимптотики. Для нахождения нестепенных асимптотик, соответствующих
вершине г(° в укороченном уравнении Е[г,ги] = 0 необходимо сделать преобразо-й 1п и;
вание £ = щ 2, г) — — и рассмотреть задачу построения степенно-логарифмических
о 1x1 г '
разложений для получившегося уравнения при условиях р > 0, р +р2 > 0. В случае вертикального ребра Г)1' нужно сделать логарифмическое преобразование £ = 1п.г, в результате возникнет задача шагов 1-4 при условии рх > 0. Случай наклонного ребра преобразованием и> = угТ, где у(г) - новая зависимая функция, сводится к случаю вертикального ребра. И наконец, преобразование ?; = -—позволяет строить

цестепенные асимптотики для горизонтального ребра Г11. При этом получившееся укороченное уравнение надо рассматривать при условии рх + р2 > 0.
С точки зрения анализа нелинейного дифференциального уравнения на свойство Пенлеве наибольший интерес представляют асимптотики и разложения решений В окрестности некоторой ТОЧКИ 2 = 2о- Для построения таких разложений нужно в исходном уравнении сделать замену независимой переменной х = г — го и рассмотреть уравнение Ё [р(ж),.т] = 0, Ё [у{х),х] “= Е[т(х + .го),ж + 20]. Асимптотики и разложения решений уравнения Е [р(ж),ж] = 0 в окрестности точки х = 0 являются искомыми асимптотиками и разложениями. Эти асимптотические данные могут быть использованы для проверки уравнения на свойство Пенлеве. На первом шаге теста Ковалевской — Пенлеве делается предположение о том, что общее решение