О некоторых вопросах теории граничного усреднения

• Автор: Чечкин, Григорий Александрович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 247 с.

1 Обзор литературы и описание проблемы

2 Структура работы

Уравнение Лапласа в области с концентрированными массами

§ 1.1 Постановка задачи в области с концентрированными массами около границы

§ 1.2 Теорема усреднения и оценки

§ 1.3 Построение асимптотических разложений в случае часто

расположенных концентрированных масс

1.3.1 Простые собственные значения

1.3.2 Кратные собственные значения

§ 1.4 Построение асимптотических разложений в случае редко

расположенных концентрированных масс

1.4.1 Формальный асимптотический анализ
1.4.2 Обоснование построенной асимптотики
1.4.3 Вспомогательные утверждения для построения “промежуточного” разложения
1.4.4 Вспомогательные утверждения для построения “внутреннего” разложения
§1.5 Асимптотические разложения в круговой области с часто расположенными “лёгкими” массами
1.5.1 Постановка задачи
1.5.2 Построение первого корректора в разложении

1.5.3 Полное разложение в случае простого собственного значения
1.5.4 Полное разложение в случае кратного собственного значения
1.5.5 Обоснование асимптотики
2 Операторный пучок в области с концентрированными массами. Скалярный аналог линейной гидродинамики
§2.1 Постановка задачи
§ 2.2 Об усреднении краевых задач в областях с концентрированными массами, периодически расположенными вдоль границы
2.2.1 Обозначения и формулировка основных результатов
2.2.2 Предварительные замечания и утверждения
2.2.3 Доказательство теоремы об оценке
2.2.4 Доказательство основных утверждений
§ 2.3 Асимптотическое поведение собственных элементов операторного пучка
2.3.1 Сведение задачи к операторному пучку
2.3.2 Свойства операторных пучков
2.3.3 Необходимые замечания
2.3.4 Теорема усреднения
2.3.5 Малые колебания вязкой неоднородной жидкости в открытом неподвижном сосуде с жёсткой сеткой
на поверхности. Нормальные колебания
3 Уравнение Гельмгольца в неограниченной области с концентрированными массами 211 §3.1 Об усреднении решений задачи для оператора Лапласа
в неограниченной области с большим количеством концентрированных масс на границе
3.1.1 Постановка задачи и основное утверждение
3.1.2 Построение и аналитическое продолжение решений214
3.1.3 Доказательство основной теоремы
Список литературы

где 7° = {£ £ П : £2 = а}. Утверждения лемм имеют место для решений У задач (1.3.54) и (1.3.55), а решения задач (1.3.52) и (1.3.53) получаются как сумма соответствующих решений У и решений задач в прямоугольнике ПП и, следовательно, обладают теми же асимптотическими свойствами при £2 -> +оо.
Теперь введём следующие классы функций:
4Г = {еет6/ £ ЯДП), / - чётная и 7г- периодическая по £1,
Я(±|,б) = 0},
^осИ _ £ т/«(П),/ — нечётная и 7г- периодическая по £1,
/(±^2)=0>-
Лемма 1.3.7. Пусть И £ тогда существует решение краевой задачи (1.3.52) из класса А°йс1
Доказательство вытекает непосредственно из леммы 1.3.5 с учетом четности из условий.
Лемма 1.3.8. Пусть И £ ДдУеп, тогда существует решение краевой задачи (1.3.53), представимое в виде
У = С + у, где у £ А|уеп), С — некоторая константа.
Доказательство вытекает непосредственно из леммы 1.3.6 с учетом нечетности из условий.
Лемма 1.3.9. Пусть И представимо в виде Р = Р* + /, Р* — многочлен порядка I и Р<+2 — многочлен порядка 6 + 2, такой что —Р/+2 = Рг, / £ Ддуеп. Тогда существует решение краевой задачи (1.3.53), представимое в виде
У = Р(+2 + С + У,
где у £ 67 — некоторая константа.