Асимптотическое поведение решений уравнений типа Эмдена-Фаулера

• Автор: Сурначёв, Михаил Дмитриевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2009
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 128 с.

Оглавление
1 Введение
1.1 Предположения и обозначения
1.2 Результаты
2 Вспомогательные результаты
2.1 Оценки решений
2.2 Факты линейной теории эллиптических уравнений
2.3 Техника весовых пространств В.А. Кондратьева
2.4 Решение Ьи = 0 с асимптотикой типа фундаментального
2.5 Теорема о „сильном нуле“
3 Доказательство основных теорем
3.1 Доказательство теоремы
3.2 Доказательство теоремы
4 „Суперкритический“ случай а > стсг
4.1 Асимптотика радиальных решений
4.2 Доказательство теоремы
5 „Критический“ случай а = асг
5.1 Асимптотика радиальных решений
5.2 Доказательство теоремы
5.3 Доказательство Теоремы
5.4 Метод „энергетических неравенств“
5.4.1 Доказательство Теоремы

5.4.2 Доказательство теоремы
6 „Субкритический“ случай а < асг
6.1 Асимптотика радиальных решений
6.2 Доказательство теоремы
Литература

Глава
Введение
В настоящей работе изучается асимптотическое поведение в окрестности бесконечности решений равномерно эллиптического "полулинейного" уравнения в недивергентной форме:
" Я2
Lu = V ац(х)
' OXiOXj
i,i=i г J
где a = const > 1, p = const,
заданного во внешности компакта К в Мп, п > 3. Коэффициенты (т) полагаются измеримыми ограниченными функциями, удовлетворяющими условию равномерной эллиптичности: найдутся такие положительные константы Щ И 7/2, ЧТО для всех £ = (&>>in) € Rn и т = (хи

У ICI2 < аи(хШз < ЫН2- (1.2)
*J=i
Будем также предполагать, что ау- = а. Коэффициэнты таковы, что
(JLij {х ) = fiij + о(1) при х —> оо. (1.3)
Асимптотические свойства решений уравнения (1.1) при этом изучаются в соответствии с различными значениями параметров (<7,р, п) и скоростью стабилизации в (1.3).
Для сокращения записи далее в этой работе будем писать иа, подразумевая под этим ис~1и.
оценку (2.9) для функции п(А, ш) по прямой 1т А = /го. Получаем
/ +и)4-2ыа <
7ітЛ=/г0 д

/ 1Й1Ь(8) сгА = сцл||0.
' 1т А=/г о
Обозначим через и(ф, со) обратное преобразование Фурье функции гг(А, со). В силу свойств преобразования Фурье, у функции и(ф. со) существуют обобщенные первые и вторые производные, причём
г-+оо г . ] да+Р
-оо л Э

а+Щ<2

2 гг
даід‘3 со
;(а+п-4)г
< [ 5-/ П'и1!т,2(8)(1 + |А|)4 2к с/А < а||/|||0.
і/ Іш А=/го =о
Переходя отсюда к исходным координатам и принимая во внимание, что ді = гдг = г ф2(го) ф, а дш = г фі(со) <ф;, где ф2 - гладкие функции угловых параметров, получаем
= [ Е < С||/1||0.
а /гоп у—'
а <2
По построению, полученная функция г/.(ж) есть решение уравнения Дгг = /. Проверим его единственность. Пусть ггі - другое решение того же уравнения. Обозначим 'Ш — и — щ. Очевидно, что и) Є Щ и Аи> = 0. Запишем го в логарифмических координатах, ж = ,т(/, со) и применим преобразование Фурье по переменной і. Легко видеть, что го(А, со), удовлетворяет неравенству