Распространение волн в неоднородной среде

• Автор: Боровских, Алексей Владиславович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2006
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 337 с. : ил.

1 Постановка задали и описание проблемы

Основная цель настоящей работы - описать в адекватных математических терминах процесс переноса волн в неоднородной среде и установить связи между различными математическими формами описания переноса волн и различными математическими формами описания эволюции среды.
Здесь необходимо сразу уточнить, что имеется в виду, поскольку в существующей литературе понятие "волна" является чрезвычайно расплывчатым. Суммируя все употребляемые смыслы, можно прийти к заключению, что волной называется "все, что движется". Это, вообще говоря, не вполне оправдано. Отметим, кстати, что понятие "волна" не фигурирует ни в математических энциклопедиях, ни в математических справочниках. Что же касается физической справочной литературы, то в ней понятие волны автору удалось найти только в физической энциклопедии [59].

Для уточнения смыслов приведем следующую табличку:

Волны в среде Эволюция среды Колебания в среде

Дифф. форма Уравнения переноса Уравнения сплошной среды Уравнения геометрической оптики

Интегр. форма Формула распр. волн Формула Римана Формулы контурного интегрирования

В ней "переносу волн" (т.е. процессу преобразования движущихся форм) соответствует левая колонка, средняя колонка отвечает за "эволюцию среды "в динамической системе представлений (как процесс преобразования с течением времени "фазовых"характеристик - состояния среды и скорости изменения этого состояния), правая - за "колебания в среде", т.е. изменение состояния среды, являющееся синусоидальным по времени и сохраняющим свою форму в пространстве.
Конечно, поскольку речь идет по существу об одном и том же. процессе, лишь описываемом разными способами, между этими колонками не может быть принципиальной разницы. Однако для того, чтобы ясно представить

и точно описать переход одного смысла в другой, необходимо четко зафиксировать разделение этих смыслов.
К дифференциальной форме описания состояния среды можно отнести практически все уравнения, называемые сейчас "волновыми" - уравнения акустики, систему Максвелла, уравнения упругого тела, уравнения гидродинамики и газовой динамики.
К интегральной форме описания состояния среды можно отнести интегральные формулы решения этих уравнений (таких, как формулы Далам-бера, Римана, Пуассона, Кирхгофа). Несколько промежуточное положение здесь занимают интегральные уравнения (например, известная формула С.Л.Соболева [146], распространенная затем В.Г.Гоголадзе [63] на анизотропный случай), которые являются важным средством установления эквивалентности дифференциальной и интегральной формы описания одного и того же явления. Такого рода эквивалентность на самом деле чрезвычайно важна как математическая связь между представлениями о близко-и дальнодействии (см., напр., [108, Гл. IV, п. 95а]).
Уравнения геометрической оптики - это уравнения, получающиеся из уравнений состояния среды при подстановке в них решения вида
общее же решение уравнений состояния получают интегрированием решений (1.1), причем, поскольку параметр и) обычно допускается не только вещественным, но и комплексным, это интегрирование происходит в комплексной области по некоторому контуру:
Хотя в формуле (1.1) не написано ничего более чем "рассматриваются гармонические колебания среды с фазой и амплитудой, зависящей от точки этой среды", эти решения часто называют, следуя Уизему [160], "дисперсионными волнами". В целях разделения смыслов мы будем эту систему представлений называть "колебаниями в среде", чтобы рельефнее выделить основной смысл понятия "волна", который идет от непосредственных наблюдений за волнами, например, на воде и который состоит в том, что волна - это некоторое поле, скалярное или векторное, которое изменяется с течением времени путем переноса его, в силу связанности среды, из одних точек пространства в другие. Носителем волны является фронт, а направление переноса определяется лучами. Под фронтом понимается набор линий уровня решения уравнения характеристик (уравнения эйконала)
и(их, ш)
(1.1)
(1.2)

соответствующего волнового уравнения, а под лучами - интегральные линии поля коградиентов этого решения уравнения эйконала (или, другими словами, бихарактеристики волнового уравнения).
Обоснованность такой дискриминации по отношению к "дисперсионн-ным волнам" мы хотели бы проиллюстрировать на двух совершенно тривиальных примерах.
Пример 1. Рассмотрим одномерное уравнение
Чц — иХх (IV,,
где а константа. Решениями этого уравнения являются, очевидно, функции и = 'зш(о;£ — кх), где к = Д^2 — а2. Можно ли эти решения считать "волнами"?
На первый взгляд - да, поскольку налицо некая движущаяся форма (синус). Однако в полученной формуле скрыт хорошо известный парадокс фазовой скорости. Он состоит в том, что скорость движения этой формы (которая и называется "фазовой") и>/к=и)/Vш2 - а2 больше единицы, т.е. характеристической скорости распространения конечных возмущений, и поэтому получается, что наша синусоидальная форма, рассматриваемая как целое, двигается с большей скоростью, чем та же самая синусоидальная форма, мысленно разбитая на конечные фрагменты (например, по полпериода).
Парадокс этот не только обнаруживается, но и разрешается мысленным экспериментом: выделим в некоторый момент времени одну из полуволн ("горбик"), отметим его точку максимума (пусть это будет точка А), затем посмотрим, куда этот максимум переместился за время Д£ и обозначим эту точку через В. Теперь вернемся назад, к начальному моменту времени, удалим полуволну, содержащую точку А (т.е. заменим на полупери-оде синус нулей), и посмотрим, что будет происходить с такой испорченной движущейся формой дальше. Элементарные рассуждения, основанные на линейности дифференциального уравнения, показывают, что созданный нами дефект будет распространяться с единичной скоростью, поэтому он будет отставать от синусоидальной формы, и в результате через время At в точке В, как ни в чем не бывало, появится максимум синусоидальной формы.
Проведенные рассуждения показывают, что в нашем примере в точке В форма синуса из точки А не переносится, она в этой точке воспроизводится на основе предшествующего состояния среды в пределах области влияния точки В, в которую точка А, естественно, не попадает.
Пример 2. Усугубим ситуацию, удалив из уравнения производную по

не зависят от того, в какое функциональное пространство мы погружаем нашу задачу.
Теорема 1.2.1 (Принцип суперпозиции для волнового оператора). Пусть Кд[У(в), ИДз)] - оператор, определяемый формулами (1.2.1)-(1.2.2):
К,[У(з),ЙД)’| ‘Э'р/'Д), №•*(«)].
Тогда
щаццЦид)]] = к»+г[г(«), и'И].
Для доказательства теоремы нам понадобится
Лемма 1.2.2 Имеют место следующие тождества: у + ау-(3 £ + у £-у £ + г}
А'’У)> —7Г~УТГУ + Р у-<* ^ тг£ + У £-~У £ + r)^
~Г'
= 2ДІ±^,^,І±5)-2Д 1 2 ’ 2 ! 2 ' У
~ у + « у - (3 £ + у £ - у £ + г)
у)^— — ~у
= 2Д^,^,^)-2Д
ду = (1.2.5)
Є + а С-Р

ду = (1.2.6)
;У)Л2 ’
т(У + Ру-а ^ тЛ + У (-У £ +

(1.2.7)
-2У(
С + /3 £-/3 £ +
-у + ау-Р ,Т^ + У £~У £ + гі 2 ’ 2 ' ^) ( 2 ’ 2 ’
Т/У + Р у-а + 2/ с -у £ + Щ
-Д—. —,у)Л— — —,

(1.2.8)