Обратная задача рассеяния для одномерного оператора Шредингера с медленно убывающим потенциалом

• Автор: Давыдов, Родион Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 1983
• Место защиты: Харьков
• Количество страниц: 125 c. : ил

ГЛАВА I. ПРЕОБРАЗОВАНИЯ КРУМА-ДАРБУ И ОПЕРАТОРЫ 1РЕДИНГЕРА

С МЕДЛЕННО УБЫВАЮЩИМИ ПОТЕНЦИАЛАМИ

§1.1. Преобразования Крума-Дарбу

§1.2. Операторы Шредингера о квазирациональными

потенциалами

§1.3. Решения Йоста и их свойства

ГЛАВА 2. ЗАДАЧА РАССЕЯНИЯ НА ОСИ ДЛЯ ОПЕРАТОРА ШРЕДИНГЕРА

С КВАЗЙРАЦИОНАЛЬНЫМ ПОТЕНЦИАЛОМ

§ 2.1, ^-матрица и данные рассеяния. Общие сведения

§2.2. Свойства ^-матрицы оператора Шредингера с

квазирациональным потенциалом.*, .л

§2.3. Обратная задача рассеяния ддЛ^лолуфегулярного
оператора, не имеющего точечного спектра
§2.4. Обратная задача рассеяния в классе квазирациональных
операторов в общем случае
ГЛАВА 3. МЕДЛЕННО УБЫВАЮЩИЕ РЕШЕНИЯ УРАВНЕНИЯ
КОРТЕВЕГА-ДЕ ФРИЗА
§3.1. Рациональные и квазирациональные решения
уравнения Кортевегаг-де Фриза
§3.2. Задача Коши
ПРИЛОЖЕНИЕ. О РАЗЛОЖЕНИИ ПО СОБСТВЕННЫМ ФУНКЦИЯМ ЗАДАЧИ РАССЕЯНИЯ ДЛЯ ПОЛУРЕГУЛЯРНОГО
.л/ 2
ШЕРАТОРА H--d/dx2+XiTvl(?:)
ЛИТЕРАТУРА

Исследование обратных задач спектрального анализа является вот уже более тридцати лет одним из наиболее важных и плодотворных направлений математической физики. При их решении получен ряд существенных результатов как с точки зрения спектральной теории, так и с точки зрения приложений к физическим задачам. Особый интерес к обратным задачам вызвало открытие в 1967 г. Гарднером, Грином, Крускалом и Миурой метода "обратной задачи рассеяния" решения ряда нелинейных уравнений математической физики.
Рассмотрим одномерный оператор Шредингера (оператор Штурма?-Лиувилля)
(I)
с вещественным потенциалом
удовлетворяющим условию

5 <{Ы сСх < 00-
(2)
Используя уравнение Лиувилля
50 следующим
дением при X —•+ СЮ
50 следующим повеимеет при всех

Аналогичным образом устанавливается существование решения е~ (х) с таким поведением при X —*■
е-(Хх>еЛхЙ+о(0),^е"(Л,^= 1.АеЛх(4* о(0).
Зти решения называются решениями Йоста.
При Л =£ 0 пары функций ег(Я>х),£+^!Х^х) и ё~(,х)о €Г(^Х^х) образуют фундаментальные системы решений, следовательно,
е+йХ = аШе-а,х) *■ б^еС-Х»),
е'С-Х^О =-è(-h)+ а(Х) эс). (3)
Вводя обозначения
1СÜ,x) = аШ 1е+(Х,х), и+С,х)= а (Я)
й = (гга.хх^а.х)),
можно убедиться с помощью соотношений (3), что имеет место зависимость
и = S1 г,
где 5 = l|sjiiCWlj,K=u , s„(:4--sa(3i)=aÜ)1, su() = &(Я)/а(Я) , 5ЯД) = - 6(-Я)/аОЛ).
Матрица Л» называется -матрицей оператора Н
Обратная задача теории рассеяния (ОЗР) для рассматриваемого оператора при отсутствии точечного спектра состоит в а)восстанов-лении потенциала <^(х) по ,S> -матрице и б) отыскании необходимых и достаточных условий, которым должна удовлетворять матрица , чтобы быть -матрицей некоторого оператора Шредингера с вещественным потенциалом, удовлетворяющим условию (I)

Наконец, рассмотрим случай .По определению к
этому случаю относится полурегулярный оператор Н , имеющий
виртуальный уровень, то есть такой, что уравнение И Ц) = О имеет ограниченное на всей оси решение. Значит, функции 2,0(х) и линейно зависимы, и М(£о,д+>0.
Положим С1Д(Х) . ЕЛ(Я) =(ХЯ) ' (>(Я)
Подставляя также, как.и в предыдущих рассмотрениях, разложения (1.28) в равенства (2.5), находим, что при ! —*0
2а.,(Я)- ьХ ' с('Х) = ь'Х(х V о (А)).
2 ЦМ =(чГЦ>[-2Е с-са^и1га,(Х).
Отсюда £>41(А) = (1А) (<Г V о0)) , ^(0) = 1,
Доказательство леммы 2.2. закончено.
Таким образом, в результате рассмотрений параграфов 2.1 и 2.2 установлено, что оператор Шредингера Н = “<1/ах2+• с^(Х) с квазирацион ал ьным потенциалом ^(х) £ ^п/т может иметь только конечное число неположительных собственных значений
~ * а -матрица удовлетворяет условиям:
I. Матрица £>(Х) унитарна =5(Х4*5С>1))
ч.О) = ' «.цС-я).
П. Элементы матрицы суть бесконечно дифференцируемые функции;