О поведении при больших значениях времени решений параболических уравнений

• Автор: Денисов, Василий Николаевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Докторская
• Год защиты: 2011
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 187 с.

Оглавление
Введение

1 Постановка задач и обзор известных результатов

2 Основное содержание работы

1 Условия стабилизации для дивергентного уравнения

1.1 Некоторые свойства решений эллиптических уравнений в одномерном и

двумерном случаях

1.2 Доказательство теоремы

1.3 Некоторые свойства решений эллиптических уравнений в при N >

1.4 Доказательство теоремы

1.5 О неулучшаемости условий теорем 1.2 и

1.6 О решениях эллиптических уравнений в !Э.Л' со степенным ростом на
бесконечности
1.7 Принцип максимума для обобщенных решений задачи Коши в классах
растущих функций
1.8 Доказательство теоремы
1.9 Доказательство теоремы
1.10 О неулучшаемости условий на младшие коэффициенты в теоремах

1.11 Доказательство теоремы
1.12 О точности условий в теореме 1.10
2 Стабилизация в недивергентном случае
2.1 Необходимые и достаточные условия стабилизации решения задачи Коши для уравнения с радиальным потенциалом
2.2 Некоторые свойства суперрешений эллиптических уравнений в Кд’, N > 3121
2.3 Доказательство теоремы
2.4 О растущих суперрешениях для эллиптических иедивергситных уравнений в IV >
2.5 О стабилизации суперрешений
параболических уравнений
2.6 Доказательство теоремы
2.7 Доказательство теоремы

Оглавление
2.8 Доказательство теоремы
2.9 О точности условий теоремы
2.10 Точность условий теоремы
3 Условия стабилизации первой краевой задачи
3.1 Формулировка результатов
3.2 Лемма о возрастании
3.3 Итерационное неравенство и его следствия
3.4 Оценка снизу тепловой емкости цилиндра через винеровскую емкость
основания
3.5 Доказательства теорем 3.1 и
3.6 Свойства тепловых потенциалов и параболических емкостей для параболического уравнения
3.7 Доказательство достаточности теоремы 3.3
3.8 Доказательство необходимости теоремы
3.9 Доказательство следствия 3.1 теоремы 3.3 о стабилизации решения краевой задачи в конусе
3.10 Доказательство теоремы
Литература
Введение
ГЛАВА 1. УСЛОВИЯ СТАБИЛИЗАЦИИ ДЛЯ ДИВЕРГЕНТНОГО УРАВНЕНИЯ
Случай N > 2 рассмотрен в ([39], с. 190). В конце §1 мы рассмотрим одномерный
случай N = 1, указав необходимые изменения в известном из [39] доказательстве
неравенства (1.1.11).
При доказательстве леммы 1.1 мы будем применять лишь лемму 1.2 и лемму 1.3, поэтому мы сможем ограничиться лишь случаем N = 2, не выделяя отдельно одномерный случай.
Доказательство Леммы 1.1. 1. Установим, что существует ограниченное в Ел", положительное решение Г(.т) из ИТ]',!ос(ИЛГ) уравнения
Ь{х)Г(х) + (Ь{х), УГ(ж)) + Сх(д)Г(а:) = 0, (1.1.12)
где сх(я;) определено в (1.1.4), а Ь(х)Г(х) — оператор (1.1.2).
В шаре Вя = {ж : х < К} С N = 1,2, где Я > 1, рассмотрим задачу
Г(х)ГДх) + Ь(х) УГДх) + сх(ж)ГДх) = 0, х е Вя, (1.1.13)
гя1М=я = 1- С1-1-14)
Ясно, что решение задачи (1.1.13), (1.1.14) существует и единственно (см. [39], с. 196). Из принципа максимума ([39], с. 173, 190) элементарно вытекает неравенство
0 < Гд(ж) < 1. (1.1.15)
При любом Я > 1 рассмотрим семейство функций {Гя(а;)}. Очевидно, что функции из {Гд(ж)} удовлетворяют неравенствам
гй1 (ж) > (х) > ПРИ > Я2
в областях х > 1. Известно также (см. [39], с. 191), что для Гд(а:) имеет место
неравенство
|Гя(а;2)-Гя(*1)| <Сх2~Х1\ 0<7< 1, (1.1.16)
равномерно но Х, х2 на каждом компакте К в Вя. Следовательно, семейство функций (Гд(ж)} является компактным в смысле равномерной сходимости на каждом компакте К в1".
Применяя диоганальный процесс, получим, что существует подпоследовательность {ГшДд)} семейства (Гд(а:)}, такая что
Г'шДз-) хсо} 1X0 И 1>2(г)) Т.е.
Нш / {Гдь(ж) — Г(ж)}2 с1х — 0 при каждом г > 0. (1.1.17)
к-Ьоо д |х|<г
В силу известной оценки Каччиополи [43], [44] имеем
/ !уг|2ф-ьг2) I (1.1.18)
вГ1 в