Усреднение вариационных неравенств для оператора Лапласа и для бигармонического оператора с ограничениями на множествах, периодически расположенных вдоль многообразий

• Автор: Зубова, Мария Николаевна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2007
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 99 с. : ил.

0.1 Введение
0.2 Вспомогательные утверждения
1 Вариационное неравенство для оператора Лапласа
1.1 Постановка задачи
1.2 Случай многообразия большой коразмерности
1.3 Случай образования препятствия вдоль многообразия
1.4 Случай исчезновения препятствия
1.5 Критический случай
1.6 Случай, когда ограничения заданы на множествах вдоль границы
2 Вариационное неравенство для бигармонического оператора
2.1 Постановка задачи
2.2 Случай малой размерности объемлющего пространства
2.3 Случай многообразия большой коразмерности
2.4 Случай образования препятствия вдоль многообразия
2.5 Случай исчезновения препятствия
2.6 Критический случай
2.7 Случай, когда ограничения расположены на множествах вдоль границы
3 Литература
4 Иллюстрации

0.1 Введение
Вариационные неравенства возникают в различных задачах физики, таких, как, например, задачи ол полупроницаемых стенках, задачи фильтрации, задачи управления температурой. Вариационные неравенства для бигармонического оператора и оператора Лапласа с ограничениями типа неравенств соответствуют задачам о равновесии пластины или мембраны, расположенной над препятствием. При большом числе подмножеств, на которых заданы ограничения, области в которых ставятся подобные задачи, имеют весьма сложную структуру. Сложная структура области не вносит дополнительных трудностей в доказательство теорем существования и единственности этих задач, однако нахождение этих решений как точными, так и приближенными методами не представляется возможным. Лишь привлекая различные физические соображения, иногда удается приближенно найти основные характеристики изучаемого процесса при помощи замены решений исходных задач решениями более простых приближенных задач. В одних случаях задачи с ограничениями типа неравенств на подмножествах заменяются решениями вариационных неравенств с ограничениями на всем пространстве или на поверхности, вдоль которой были расположены эти подмножества, в других - решениями краевых задач с "усредненными"граничными условиями или условиями сопряжения на некоторой поверхности
Подобными задачами занимается теория усреднения, начало которой было положено в работах Пуассона, Максвелла, Релея. Как самостоятельная наука теория усреднения была развита в работах таких математиков, как Н.С. Бахвалов, В.В. Жиков, В.А. Марченко, Е.Я. Хруслов, Е. Де Джорджи, Ж. Лионе, Э. Санчес - Паленсия, Г. Дель Мазо , Л. Тартар и многие другие ([2|- [22] ). Особую роль в теории усреднения занимают работы O.A. Олейник ее учеников ([31], [35], [37], [36], [38]).
Примерами задач, решаемых теорией усреднения, могут служить краевые задачи для уравнений с частными производными, моделирующие процессы в сильно неоднородных средах, перфорированных материалах, с быстро меняющимися граничными условиями, задачи со сменой граничного условия на малом участке границы, задачи в областях с быстро осциллирующей границей и т.д. Примерами за-

дач, связанных с усреднением вариационных неравенств могут служить задачи с ограничениями типа неравенств на перфорированной части границы области, задачи с быстро меняющимися ограничениями (см., например, работы (9], [17], [19], [18], [25], [31], [32], [43]).
В 60-х - 70-х годах прошлого столетия в работах В.А. Марченко и Е.Я. Хруслова [9], [10] впервые были рассмотрены задачи усреднения в областях с так называемой мелкозернистой границей. Краевое условие в такого рода задачах ставится на границе множества сложной структуры, состоящего, например, из большого количества (как правило, непересекагощихся) малых областей, расположенных близко друг к другу. При этом изучается поведение решения, когда число областей неограниченно возрастает, а расстояние между ними и их размеры стремятся к нулю. Задачи в подобного рода областях возникают при исследовании, например, дифракции воли различной природы на экранах с большим числом мелких дырок, деформации упругих сред с большим числом мелких неоднородностей (пустот, трещин и т.п.). Позднее, методы, разработанные в теории усреднения дифференциальных уравнений с частными производными, позволили получить дальнейшее продвижение в задачах, рассмотренных В.А. Марченко и Е.Я. Хрусловым, для областей со сложной границей, обладающей периодической структурой.( [35], [44] и др.)
Основы теории вариационных неравенств были заложены в 60-х годах прошлого века в работах Ж.-Л. Лионса и Г. Стампаккьи [5], [6], Г. Дель Мазо [2], [3], Г. Фикеры [11], Е. Санчес - Паленсия [12]. В работах этих авторов были изучены вопросы существования и единственности решений вариационных неравенств при достаточно общих предположениях об операторе, задаче на нахождение минимума которого соответствует вариационное неравенство, а так же получены некоторые результаты о регулярности решений. Впервые задачи усреднения вариационных неравенств с ограничениями, зависящими от параметра, были рассмотрены в работах Г. Дель Мазо. К. Пикар. Например, в работах Г. Дель Мазо [4] изучалась асимптотика решений задачи минимизации функционала / | Би |2 +р(£,и)Фс на множестве функций с двусторонними ограничениями фп < и < фп, в случае, когда ограничения являются элементами некоторых функциональных последовательностей. В монографии К. Пикар [1] быИз неравенств (103)-(105) выводим, что
jVwe2{h-(t>)-2dx
Следовательно,
| J wE(h - )~Vm£V(/i - 4>)dx| < п
< (/{h ~ 0"|2| Vwe|2d*)1/2(/1V(Ä - ф)Чху/ (107)
n n£
где П£ = u/^V/, то из (106) и (107) вытекает равенство (102). Учитывая, что и£ и о в #i(fi) при е —> 0, получим
lim/ V((h - <£)+ + ^)Vu£tfe = / V((fc - )+ + (j>)Vu0dx, (108)
£_> n n
lim/ wsV(h - )~Vuedx = / V(/i - ф)~Ущ(Ь, (109)

lim J f((h-)++ ф + и)е(11-ф)~-us)dx = Jf(h-uo)dx. (110)
n n
Обозначим
lim/Vw£2(h - <^)~|2cte = Д;

lim J(h~ ф)~^ю£/и^х
s~* n Найдем 7j и Д.
Легко видеть, что
/ |(/i - ^)"|2|Vm£|2tfx = / Vw£V(in£|(/i - <£)~|2)сй; -о п
-/m£Vm£V|(/i - )_|2Фг
Следовательно,