Задача Трикоми для одного класса систем уравнений смешанного типа

• Автор: Мугафаров, Марат Фавильевич
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2004
• Место защиты: Стерлитамак
• Количество страниц: 121 с.

Глава 1. Задача Трикоми для одной системы уравнений смешанного типа

§1.1. Постановка задачи

§1.2. Экстремальные свойства решений системы в области эллиптичности

§1.3. Экстремальные свойства решений системы в области гиперболичности

§1.4. Экстремальные свойства решений системы в смешанной области

§1.5. Примеры

§1.6. Об условной разрешимости задачи Трикоми

Глава 2. Существование решения задачи Трикоми для одной системы уравнений смешанного типа

§2.1. Постановка задачи

§2.2. Интегральное представление решения задачи Коши - Гурса . . §2.3. Интегральное представление решения задачи Хольмгрена

§2.4. Сведение задачи Трикоми к системе сингулярных интегральных
уравнений
Глава 3. Разностный метод решения задачи Трикоми для одной системы уравнений смешанного типа
§3.1. Аппроксимация дифференциальной системы уравнений разностной. Постановка разностной задачи Трикоми
§3.2. Принцип максимума в области эллиптичности
§3.3. Принцип максимума в области гиперболичности
§3.4. Принцип максимума в смешанной области и его применения
Библиографический список
Уравнения смешанного типа возникли в 20 - х годах прошлого века. Позже они получили значительное развитие благодаря многочисленным приложениям в газовой динамике, в теории бесконечно малых изгибаний поверхностей, в безмоментной теории оболочек и в других областях физики и техники.
Начало исследований краевых задач для уравнений смешанного типа было положено в известных работах Ф. Трикоми и С. Геллерстедта, где были впервые поставлены и исследованы краевые задачи для модельных уравнений смешанного типа с одной линией параболического вырождения, теперь известные как «задача Трикоми» и «задача Геллерстедта».
В 40 - х годах прошлого века Ф.И. Франкль обнаружил важные приложения задачи Трикоми и других родственных ей задач в околозвуковой аэродинамике. Кроме того, приложения краевых задач для уравнений смешанного типа указаны в работах О.С. Рыжова, А.Д. Пилия и В.И. Федорова, М.Н. Когана, Э.Г. Шифрина, Г.Г. Черного в связи с проблемами теории сопел Лаваля, теории плазмы, магнитогидродинамики и другими вопросами.
В 50 - е годы в работах Ф.И. Франкля [63], A.B. Бицадзе [3] - [4], К.И. Бабенко [1] было положено начало современной теории уравнений смешанного типа. В этих работах наряду с задачами Трикоми и Геллерстедта были поставлены и изучены новые краевые задачи для уравнений смешанного типа. В дальнейшем эти краевые задачи изучались многими авторами как в нашей стране

Тогда

степенях А, получим формулы для вычисления и!''1:

и<ю,- *
(£о,»7о) = J ч(*)Ко(€о,г]о,г)М, о
Ко(£о, т, г) = т(£о - tya(т]o - 0_а-(1)^. -л_ ?(ч-6)а V
(6). *й) = У Ё *?) и*0)(£о, +
Со к
Со Ло п
У ^ У Ё ["«“Г+6^Л4?]
& „ ЛО , &
=у ё^ф^ у +У у: >
О *=1 {о 0 *
Со Ло Со п
/*/ [а**Яо + ЬаД^о,]^ = У Ё

г £ о
Ло Со Ло
/40) = У + у ^ У [а^/Го +
Со * С

п(т+1)
(&,»7о) = У Ё^(*)^}(£о,г}о^)(И,
*' I т
7?0 П
4т)(ео, »70,«) = У 7^Тг|тт Ё аФК!>к~1}(£о, V, № +
Со р
Со Ло „
У «У Е ЬХг1^.*)+м^йг4«.**)] (2-14)
t е Р
‘ С
С помощью полученных соотношений ряд (2.13) можно записать в виде Со Со
М1ч1м,

«о ?о п
.(6,%) = У «'»(^Яо^о, »То, *)<** + У Е ’'к^Кгк^о, »70, *)<й, (2.15)