Предельные циклы векторных полей и релаксационные колебания

• Автор: Каледа, Павел Иоаннович
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2010
• Место защиты: Москва
• Количество страниц: 105 с. : ил.

Оглавление
Введение

1 Цикличность элементарных полициклов

1.1 Точная формулировка результата

1.2 Существование и оценка числа Е(п,к)

1.2.1 План доказательства

1.2.2 Базисная система

1.2.3 Нормальные формы локальных семейств

1.2.4 Пфаффовы уравнения и функционально-пфаффова система

1.2.5 Процедура Хованского

1.2.6 Теорема Безу-Калошина об оценке числа решений и

ее применение
1.2.7 Различия в подходах
1.3 Оценка сверху числа Е(п,к)
2 Бифуркация быстро-медленной петли сепаратрисы
2.1 Введение в теорию сингулярных систем
2.1.1 Основные определения
2.1.2 Основные факты теории быстро-медленных и сингулярных систем
2.2 Теорема о бифуркации быстро-медленной петли сепаратрисы
2.2.1 Формулировка теоремы

2.2.2 Доказательство теоремы
3 Количественная теорема о срыве
3.1 Формулировка теоремы
3.2 Раздутие
3.3 Динамика в карте К\ отображение «до срыва»
3.4 Динамика в карте К2 отображение «вблизи срыва»
3.5 Динамика в карте К^ отображение «после срыва»
3.6 Завершение доказательства
Литература

Введение
Общая характеристика работы
Актуальность темы. Настоящая диссертация относится к качественной теории дифференциальных уравнений. Она посвящена исследованию цикличности предельных множеств периодических траекторий векторных полей на вещественной плоскости, а также релаксационным колебаниям.
В 1900 г. в своем докладе на Н-м Международном конгрессе математиков Гильберт сформулировал знаменитые 23 проблемы (см. [15] и [26]). Вторая часть 16-й проблемы была посвящена предельным циклам векторных полей на плоскости. Именно, рассмотрим полиномиальное векторное поле на плоскости, т.е. систему дифференциальных уравнений вида
± = Рп(х,у), у = Яп{х,у), (1)
где (х, у) € К2, а Рп (х, у) И С2п(х, У) — многочлены степени не более п. Предельным циклом системы (1) называется её изолированная замкнутая траектория, гомеоморфная окружности.
Проблема состоит из двух вопросов:

Решения базисной системы (1.1) являются решением функциональнопфаффовой для какого-то конкретного интегрального многообразия Г. Оценивая число изолированных пересечений для произвольного многообразия Г, мы получаем оценку сверху на число решений базисной системы. Предельные циклы соответствуют изолированным неподвижным точкам отображения Пуанкаре, поэтому нам требуется оценить число только изолированных решений системы (1.1). В свою очередь, число изолированных решений системы (1.1) оценивается сверху числом невырожденных решений аналогичной системы с малой правой частью (см. [28, lemma 3.2]), которые, в свою очередь, соответствуют трансверсальным пересечениям Г с типичным слоем F~l(a) для малого а 6 (Rn,0) (см. [28, lemma 3.3]). Поскольку интегральное многообразие и множество уровня имеют дополнительные размерности, трансверсальное пересечение всегда состоит из изолированных точек, которые мы будем называть регулярными решениями системы (1.5). Нам требуется оценить сверху их число, причем эта оценка должна быть равномерной по всем интегральным многообразиям Г и достаточно малым значениям параметров.
Для дальнейших рассуждений будет удобно рассматривать параметры е и Л = (Л1,...,Л"), А-7 £ М^+1 как дополнительные независимые переменные, добавив в систему новые уравнения вида
£ = в* 6 Rfc, А = А* £ Rm,
где т := п + £ pj.
Кроме того, в пфаффовом уравнении для резонансного седла Sр (см.