Интегрируемые многомерные граничные задачи

• Автор: Гудкова, Елена Владимировна
• Шифр специальности: 01.01.02
• Научная степень: Кандидатская
• Год защиты: 2005
• Место защиты: Уфа
• Количество страниц: 94 с. : ил.

1 Обрывы двумеризованной цепочки Тоды
1.1 Алгоритм нахождения интегрируемых обрывов двумеризованной цепочки Тоды
1.2 Новый пример
1.3 Как построить пару Лакса для цепочки с краевым
условием?
1.4 Преобразование Мутара и краевые условия
2 Уравнение Кадомцева-Петвиашвили
на полуплоскости
2.1 Краевые условия для уравнения КП
2.2 Мастер-симметрия и граничные условия
2.3 Обрывы цепочки Тоды и уравнение КП
2.4 Преобразование Беклунда и граничные
условия
2.5 Модифицированное уравнение КП
2.6 Уравнение Веселова-Новикова
3 Алгоритм построения частных решений
краевой задачи для уравнения КП
3.1 Краевое условие, совместимое с парой Лакса
3.2 Краткое изложение метода одевания для уравнения

3.3 Редукции уравнения Гельфанда-Левитана-Марченко
и граничная задача
3.4 Явные частные решения граничной задачи для уравнения КП2
3.5 Краевая задача в полосе 0 < у <
Список литературы

Метод обратной задачи рассеяния, открытый в 1967 в работе [1], положил начало нового этапа в развитии теории нелинейных уравнений математической физики. Важную роль в становлении и развитии метода сыграли работа Лакса [2], в которой предложена удобная для обобщений альтернативная алгебраическая формулировка МОЗР, и работа Захарова и Шабата [3], где была найдена новая спектральная задача, позволившая авторам "проинтегри-ровать"нелинейное уравнение Шредингера и выявившая перспективы метода.
Первые успехи метода обратной задачи связаны в основном с построением и исследованием точных явных решений нелинейных уравнений. Одним из наиболее ярких результатов здесь явилось создание теории конечнозонного интегрирования в работах Новикова, Дубровина, Итса, Матвеева, Лакса, Марченко, Маккина и др. [4], [5], [6], [7], [8].
Заметной вехой в развитии солитонной теории стала работа Захарова и Манакова [9], где МОЗР был успешно применен для исследования асимптотики на больших временах решения задачи Коши с произвольным начальным условием для ряда нелинейных уравнений математической физики, таких, как уравнение Кортевега-де Фриза, нелинейное уравнение Шредингера, Бте-Согс1оп и др. Позже идеи этой работы нашли приложение в классической теории обыкновенных дифференциальных уравнений -уравнений Пенлеве, где с помощью метода изомонодромных деформаций, некоторой модификации МОЗР, в работах известных математиков, таких как Г.Флашка, А.Ньюелл, А.Итс, В.Новокшенов

ства и(0) = 0.
Найдем условие обрыва, двойственное краевому условию гс?|у=о = 0. Дифференцируя последнее в силу уравнения (134), находим:
го* = —2г(вххг - згхх) = 0.
В результате несложных выкладок отсюда получаем:

что с точностью до сдвигов переменной и совпадает с равенством и(0) = — и(—1).
2.4 Преобразование Беклунда и граничные условия
Еще в конце 80-ых было обнаружено (см. [54], [55]), что преобразование Беклунда нелинейного уравнения тесно связано с интегрируемыми краевыми условиями для этого уравнения. А именно, при сопряжении преобразования Беклунда инволюциями типа отражения получается некоторое сквозное отображение, неподвижные точки которого удовлетворяют некоторому краевому условию. Фактически, это обобщение того тривиального факта, что уравнение, инвариантное относительно замены х —> —х, допускает решения, четные по х, т.е. удовлетворяющие простому краевому условию: ихх=о = 0.
Уравнение КП является интегрируемым уравнением, оно представимо в виде условия совместности двух линейных уравнений, допускает симметрии сколь угодно высокого порядка, а также допускает преобразование Беклунда. Для интегрируемых уравнений